TEORIAS E FILOSOFIAS DE GRACELI 128

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A Refração da Luz e o Índice de Refração: Positivo e Negativo.

Uma das primeiras observações sobre a refração da luz foi apresentada pelo matemático grego Euclides (323-285), que viveu em Alexandria e Megara, no livro intitulado Catóptrica, no qual escreveu que para tornar visível a um observador um anel colocado em um vaso transparente, bastava derramar água no mesmo. Aliás, é ainda nesse livro que Euclides demonstrou, usando os seus conhecimentos de Geometria, a lei da reflexão da luz: o ângulo de incidência (i) igual ao ângulo de reflexão (r). Afirmou também que essa lei era válida quer para espelhos planos, quer para espelhos esféricos. [Morris Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times (Oxford University Press, 1972).]
Por outro lado, uma primeira tentativa para estudar analiticamente a refração da luz, foi realizada pelo astrônomo grego Cláudio Ptolomeu (85-165). Com efeito, em seu livro Óptica, ele apresentou uma tabela na qual registrou os ângulos de incidência (i) e de refração (r) de raios luminosos que atravessavam superfícies de separação entre ar-água, ar-vidro e água-vidro, ângulos esses medidos por um aparelho bem simples inventado pelo próprio Ptolomeu. Ao examinar essa tabela, percebeu que quando esses ângulos eram pequenos a relação entre os mesmos permanecia constante. No entanto, para ângulos maiores, Ptolomeu notou que se i₁ e i₂são dois ângulos de incidência e se r₁e r₂ são os ângulos de refração correspondentes, e se i₂ > i₁, então: i₂/i₁ > r₂/r₁. Além do mais, e ainda para ângulos maiores, ele formulou uma lei do tipo: , onde a e b são constantes. Ele também afirmou que a “quantidade” da refração depende da densidade do meio.
Uma outra tentativa para estudar quantitativamente a refração da luz foi apresentada pelo físico e matemático iraquiano Abu-´Ali Al-Hasan ibn al-Haytham (al-Hazen) (c.965-1038) em seu livro intitulado Kitab Al-Manazer (“Tesouro da Óptica”), escrito por volta de 1038, no qual apresentou correções às tabelas de Ptolomeu. Note-se que, também nesse livro, al-Hazen completou a lei da reflexão da luz, ao escrever que o raio incidente, o raio refletido e a normal, estão no mesmo plano, bem como redescobriu o princípio do trajeto mínimo da luz, enunciado pelo matemático e inventor grego Heron de Alexandria (c.20-f.c.62), em seu livro Catóptrica. [George F. Kneller, A Ciência como Atividade Humana (Zahar/EDUSP, 1980).]
Novos estudos quantitativos da refração da luz foram desenvolvidos pelo erudito inglês Robert Grosseteste (c.1175-1253), ao anunciar que o ângulo de refração é a metade do ângulo de incidência, e pelo erudito silesiano Witelo (c.1225-c.1275), no livro que escreveu por volta de 1274, intitulado Perspectiva e fundamentado nos trabalhos de Ptolomeu e al-Hazen, no qual descreveu suas experiências relacionadas com a refração da luz nas interfaces ar-água, ar-vidro e água-vidro, e apresentando uma tabela dos diversos ângulos de incidência e de refração ocorridos nessas interfaces. Registre-se que esse livro de Witelo foi usado como obra clássica da Óptica por mais de três séculos, sendo então substituído pelo livro Dioptrice, escrito pelo astrônomo alemão Johannes Kepler (1571-1630), em 1610. Nesse livro, ele desenvolveu as seguintes relações matemáticas para a lei da refração da luz: i – r = k sec i; 2 i – r = k sen i; m tg i = k tg r; tg i = sen (i – r); 1 – tg i cotg (i – r) = k tg i; 1 – tg i cotg (i – r); 1 – tg i cotg (i – r) = k sen i; i – r = k₁ + k₂ sec i; 1 – tg i cotg (i – r) = k₁ + k₂ sen i, onde i e r representam, respectivamente, os ângulos de incidência e de refração, e os k e m são constantes. [Alan Chalmers, A Fabricação da Ciência (EDUNESP, 1994).]
A lei correta da refração da luz (indicada mais abaixo), relacionada com os senos dos ângulos de incidência e de refração, foi descoberta, independentemente, por três cientistas, segundo Chalmers, op. cit. O primeiro, foi o astrônomo e matemático inglês Thomas Harriot (1560-1621) que, em 1616, encontrou experimentalmente essa lei, porém não a divulgou. O segundo, o matemático holandês Willebrord van Roijen Snell (1591-1626), que a encontrou por volta de 1621, também não a divulgou, embora ele haja falado dessa lei em seus manuscritos. O terceiro, foi o matemático e filósofo francês René du Perron Descartes (1596-1650) ao apresentar um tratamento matemático da refração em La Dioptrique, texto escrito em 1637 como suplemento de seu famoso Discours sur la Methode. Aliás, segundo Chalmers (op. cit.), Descartes já havia demonstrado essa lei por volta de 1619.
Vejamos como Descartes chegou à expressão da lei do seno. No La Dioptrique, ele demonstrou que são as semicordas do dobro dos ângulos de incidência e de refração que permanecem constantes quando a luz atravessa a superfície de separação de dois meios transparentes. Além do mais, considerando a luz como uma partícula, deslocando-se com uma velocidade v_i em determinado meio (1) transparente, incidindo com um ângulo i na interface de um segundo meio (2), também transparente, se refratando de um ângulo r e se deslocando com uma velocidade v₂, Descartes então assumiu que a razão dessas velocidades depende apenas da natureza dos meios considerados. Desse modo, ao considerar que os componentes das duas velocidades paralelos à interface permanecem constantes, demonstrou que (na linguagem atual): sen i / sen r = n₂/ n₁, com n₂ e n₁ significando, respectivamente, o índice de refração de cada meio. De posse desse resultado, Descartes concluiu que se i > r, a velocidade da luz é maior em meios mais densos. Observe-se que, muito embora a palavra seno já fosse conhecida nessa época, pois ela havia sido introduzida pelo matemático inglês Robert of Chester (c.1140- ? ), Descartes usou as semicordas do dobro dos ângulos, conforme registramos acima. É oportuno salientar que Descartes também se preocupou com a natureza da luz, pois, ainda no La Dioptrique, apresentou a idéia de que a luz era essencialmente uma pressão que se transmitia através de um meio perfeitamente elástico – o éter luminífero – que enche todo o espaço. Desse modo, ele atribuía a diversidade das cores a movimentos rotatórios (turbilhões) das “partículas luminosas” com diferentes velocidades através desse “éter”. Aliás, Descartes havia formulado esse conceito de “éter”, em 1644, por ocasião em que concebeu a sua Teoria da Gravitação, porque ele não admitia a idéia de uma força “agir à distância”, e sim, apenas por contacto. Por isso, ele considerava que a força de gravidade decorria de uma série de vórtices de diversos tamanhos que se situavam no meio “etéreo”. [William Francis Magie, A Source Book in Physics (McGraw-Hill Book Company, Inc., 1935); Sir Edmund Taylor Whittaker, A History of the Theories of Aether and Electricity (Thomas Nelson and Sons Ltd., 1951); Carl B. Boyer, A History of Mathematics (John Wiley & Sons, 1968); Descartes, Great Books of the Western World, Volume 28 (Encyclopaedia Britannica, Inc., Chicago, 1993); e André Ambrósio Abramczuk, O Mito da Ciência Moderna (Cortez/Autores Associados, 1981). ]
A lei da refração da luz recebeu uma nova demonstração por intermédio do matemático francês Pierre Fermat (1661-1995). Vejamos como. Em agosto de 1657 (Epistolae 42), em carta escrita em Toulouse a Cureau de la Chambre, ele enunciou seu famoso princípio do tempo mínimo: A Natureza sempre escolhe os menores caminhos. De acordo com esse princípio, observou Fermat, a luz, ao se propagar entre dois pontos (P₁, P₂) de sua trajetória, escolhe um caminho cujo tempo de percurso seja mínimo. Na notação atual, esse princípio significa dizer que , assume um valor mínimo quando a luz viaja com a velocidade v , entre aqueles dois pontos.
Muito embora Heron e Al-Hazen hajam usado esse princípio em seus estudos sobre a reflexão da luz, conforme vimos anteriormente, foi Fermat quem o utilizou para demonstrar a lei da refração da luz, conforme escreveu em uma carta escrita em 1 de janeiro de 1662 (Epistolae 43), ainda em Toulouse. Em sua demonstração, Fermat formulou a hipótese de que as resistências (inverso da velocidade da luz) dos meios mais densos eram maiores que as resistências dos meios menos densos, em frontal desacordo com a opinião de Descartes que afirmava exatamente o contrário, isto é, que a velocidade da luz é maior nos meios mais densos, segundo vimos acima. [Para um excelente estudo sobre essa demonstração de Fermat, ver: Wolfgang Yourgrau e Stanley Mandelstam, Variational Principles in Dynamics and Quantum Theory (Dover Publications, Inc., 1968).]
Registre-se que a hipótese formulada por Fermat descrita acima foi confirmada pelo físico e astrônomo holandês Christiann Huygens (1629-1695) em seu famoso livro intitulado Traité de la Lumière publicado em Paris, em 1678, ao demonstrar, por intermédio de sua Teoria Ondulatória da Luz, que: sen i/sen r = v_i/v_r. Note-se que, mais ou menos por essa mesma época, o matemático e filósofo alemão Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), encontrou essa mesma relação de Huygens aplicando o Cálculo Diferencial (que ele havia desenvolvido em 1675) à condição de ser mínima a dificuldade de caminho do raio luminoso. Essa dificuldade era calculada pelo produto do comprimento do percurso pela resistência do meio. [Max Born e Emil Wolf, Principles of Optics (Pergamon Press, 1970); Huygens, Great Books of the Western World, Volume 32 (Encyclopaedia Britannica, Inc., Chicago, 1993); John Losee, Introdução Histórica à Filosofia da Ciência(Itatiaia/EDUSP, 1979); Kline, op. cit.; e Whittaker, op. cit.).]
A refração da luz também foi objeto de estudo por parte do físico e matemático inglês Sir Isaac Newton (1642-1727), em suas pesquisas realizadas a partir de 1666, comunicadas à Royal Society of London, entre 1672 e 1676, e reunidas em seu famoso tratado intitulado Opticks, or a Treatise of the Reflexions, Refractions, Inflexions and Colours of Light, publicado em 1704. Nesse livro, há uma afirmação controversa, qual seja, que a velocidade da luz é maior nos meios mais densos, em desacordo com a afirmação de Huygens, segundo dissemos anteriormente. Conforme vimos em verbetes desta série, essa controvérsia só foi resolvida com a formulação matemática da Teoria Ondulatória da Luz desenvolvida pelo físico francês Augustin-Jean Fresnel (1788-1827), entre as décadas de 1810 e 1820, e as experiências realizadas, em 1850, pelos físicos franceses Jean-Bernard-Léon Foucault (1819-1868) (Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l´Académie des Sciences de Paris 30, p. 551), e Armand Hyppolyte Louis Fizeau (1819-1896) e Louis Breguet (1804-1883) (Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l´Académie des Sciences de Paris 30, p.562; 771), nas quais mostraram que a velocidade da luz na água é menor do que o ar. (Nesta oportunidade, é interessante destacar o estudo sobre a refração da luz em um meio com índice de refração variável, realizado por Lúcio Fassarella, em 2007 (Revista Brasileira de Ensino de Física 29, p. 215.)
Uma outra questão controversa no estudo da Óptica relaciona-se com o problema da dispersão da luz (vide verbete nesta série), registrada pela primeira vez pelo estadista e filósofo romano Lucius Annaeus Sêneca (4 a.C.-65d.C) em virtude da observação que fez sobre a decomposição espectral da luz solar ao atravessar um pedaço de vidro. Um estudo mais detalhado dessa dispersão foi pesquisado por Newton, depois de fazer, em 1666, suas famosas experiências sobre a propagação da luz em meios transparentes. Em uma dessas experiências, observou que o índice de refraçãode uma substância variava com a cor, pois, ao examinar através de um prisma um pedaço de papelão pintado de vermelho e azul, notou que, para uma mesma incidência de raios luminosos, os raios refratados pelo prisma eram diferentes para cada cor, já que as imagens das cores do papelão eram deslocadas, havendo, dessa forma, superposição da parte limítrofe das duas regiões pintadas. A controvérsia desse estudo decorre do fato de saber se as cores decompostas na dispersão, em conseqüência da refração da luz, tem seu comprimento de onda () [ou a freqüência linear / angular ()] associado(a) com o índice de refração, isto é: ou .
A solução da controvérsia referida acima começou a ser delineada nos trabalhos sobre as propriedades ópticas dos cristais, realizados pelo matemático francês Augustine Louis Cauchy (1789-1857), em 1828 (Exercices de Mathematiques 3, p. 160; 188), em 1830 (Bulletin des Sciences Mathematiques 14, p. 6) e em 1836 (Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l´Académie des Sciences de Paris 2, p. 341), e da reflexão e refração metálica, nos trabalhos publicados, independentemente, em 1835, pelos físicos, o escocês James MacCullagh (1809-1847) (Report of the British Association for the Advancement of Sciences) e o alemão Franz Ernst Neumann (1798-1895) (Abhandlung Berliner Akademie der Mathematischen: Klasse 1); e por MacCullagh, em 1836 (Proceedings of Royal Irish Academy 1). Destaque-se que, nesses trabalhos, a idéia central é a de que o índice de refração é uma quantidade representada por um número complexo.
Uma primeira expressão analítica para o índice de refração (n) foi deduzida pelo físico e matemático escocês James Clerk Maxwell (1831-1879), em 1865, quando demonstrou que os distúrbios eletromagnéticos que se propagam em um meio cujo , onde  são, respectivamente, a permeabilidade magnética e a capacidade indutiva específica daquele meio transparente, o fazem com a velocidade v = c/n (vide verbete nesta série).
Por sua vez, uma primeira evidência da dependência do índice de refração (n) com a freqüência (), foi obtida por W. Sellmeir, em 1871 (Poggendorff´s Annalen der Physik und Chemie 143, p. 2271), ao determinar uma relação entre n de uma substância gasosa e  da luz que o atravessa. No entanto, a demonstração formal dessa relação foi realizada pelo físico holandês Hendrik Antoon Lorentz (1853-1928; PNF, 1902) , em 1892 (Archives Néerandaises des Sciences Exactes et Naturales 25, p. 363), por intermédio de sua Teoria dos Elétrons (vide verbete nesta série). A expressão obtida por ele foi: , onde m e e representam, respectivamente, a massa e a carga do elétron, N é o número de moléculas por unidade de volume de um meio refringente, , ,  é a freqüência linear própria dos elétrons constituintes do meio, em torno de posições fixas, e  é a freqüência linear de uma onda eletromagnética monocromática que atravessa o meio considerado.
A idéia de ser o índice de refração representado por um número complexo, conforme mostraram as pesquisas independentes realizadas por MacCullagh e Franz Neumann, em 1835, conforme vimos acima, foi confirmada, também em trabalhos independentes realizados pelos físicos, o alemão Ralph de Laer Krönig (1904-1995), em 1926 (Journal of the Optical Society of América 12, p. 547) e, o holandês Hendrik Anthony Kramers (1894-1952), em 1927 (Estratto degli Atti del Congresso Internazionale de Fisici, Como, p. 545), ao estudarem a absorção e a dispersão da luz em meios transparentes levando em conta que os elétrons, no interior desses meios, oscilavam com movimento harmônico amortecido, sob a ação de um campo elétrico externo. Eles encontraram que o índice de refração é uma função complexa dada por: , com:

,

onde P representa o valor principal de Cauchy. Essas relações são hoje conhecidas como as famosas relações de dispersão de Kramers-Krönig.
Na conclusão deste verbete, é oportuno destacar um novo aspecto do índice de refração dos materiais. Segundo vimos acima, Maxwell mostrou que . Embora o valor da raiz quadrada de um número possa ser , o sinal (-) nunca havia sido considerado. Quem primeiro pensou na possibilidade de um índice de refração negativo foi o físico russo Victor G. Veselago (n. 1929), em 1964/1968 (Uspekhi Fizika Nauk 92, p. 517; Soviet Physics Uspekhi 10, p. 509), ao aventar a hipótese de que meios dispersivos que apresentassem  e  negativos, poderiam ter n < 0 sem, contudo, violar a lei da refração. Portanto, para esses meios com  < 0 ou  < 0, os elétrons se movem na direção oposta à força aplicada pelos campo elétrico ou magnético, portadores de uma determinada freqüência. Além disso, as velocidades de fase e de grupo (vide verbete nesta série) teriam direções opostas.

as dimensões categorias podem ser divididas em cinco formas diversificadas.

tipos, níveis, potenciais, tempo de ação, especificidades de transições de energias, de fenômenos, de estados de energias, físicos [estruturais], de fenômenos, estados quântico, e outros.

paradox of the system of ten dimensions and categories of Graceli.

a four-dimensional system can not define all the energies, changes of structures, states and phenomena within a structure, that is why there are ten or more dimensions, I have developed and I work with ten, but nature certainly goes beyond ten, with this we move to a decadimensional and categorial universe.

that is, categories ground the variables of phenomena and their interactions and transformations.

and with this we do not have a relationship with mass, but with structure, therefore, a structure carries with it much more than mass, since also mass is related to forces, inertia, resistances and energies.

but structures are related to transitions of physical states, quantum, energies, phenomena, and others.

as well as transitions of energies, phenomena, categories and dimensions.

paradoxo do sistema de dez dimensões e categorias de Graceli.

um sistema de quatro dimensões não tem como definir todas as energias, mudanças de estruturas, estados e fenômenos dentro de uma estrutura, por isto se tem dez ou mais dimensões, desenvolvi e trabalho com dez, mas a natureza com certeza vai alem das dez, com isto caminhamos para um universo decadimensional e categorial.

ou seja, as categorias fundamentam as variáveis dos fenõmenos e suas interações e transformações.

e com isto não se tem uma relação com massa, mas com estrutura, pois, uma estrutura carrega consigo muito mais do que massa, uma vez também que massa está relacionado com forças, inércia, resistências e energias.

mas estruturas está relacionado com transições de estados físicos, quântico, de energias, de fenômenos, e outros.

como também transições de energias, fenômenos, categorias e dimensões.

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

= entropia reversível

postulado categorial e decadimensional Graceli.

TUDO QUE ESTÁ RELACIONADO COM ENERGIA, ESTRUTURAS, FENÔMENOS E DIMENSÕES ESTÁ INSERIDO NO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.

todo sistema decadimensional e categorial é um sistema transcendente e indeterminado.

matriz categorial Graceli.

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Ta l Rl

1] Cosmic space.
2] Cosmic and quantum time.
3] Structures.
4] Energy.
5] Phenomena.
6] Potential.
7] Phase transitions of physical [amorphous and crystalline] states and states of energies and phenomena of Graceli.
8] Types and levels of magnetism [in paramagnetic, diamagnetic, ferromagnetic] and electricity, radioactivity [fissions and fusions], and light [laser, maser, incandescence, fluorescence, phosphorescence, and others.
9] thermal specificity, other energies, and structure phenomena, and phase transitions.
10] action time specificity in physical and quantum processes.

Sistema decadimensional Graceli.

1]Espaço cósmico.

2]Tempo cósmico e quântico.

3]Estruturas.

4]Energias.

5]Fenômenos.

6]Potenciais., e potenciais de campos, de energias, de transições de estruturas e estados físicos, quãntico, e estados de fenômenos e estados de transições, transformações e decaimentos.

7]Transições de fases de estados físicos [amorfos e cristalinos] e estados de energias e fenômenos de Graceli.

8]Tipos e níveis de magnetismo [em paramagnéticos, diamagnético, ferromagnéticos] e eletricidade, radioatividade [fissões e fusões], e luz [laser, maser, incandescências, fluorescências, fosforescências, e outros.

9] especificidade térmica, de outras energias, e fenômenos das estruturas, e transições de fases.

10] especificidade de tempo de ações em processos físicos e quântico.

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Ta l Rl

Matriz categorial de Graceli.

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Ta l Rl

Tipos, níveis, potenciais, tempo de ação, temperatura, eletricidade, magnetismo, radioatividade, luminescências, dinâmicas, estruturas, fenômenos, transições de fenômenos e estados físicos, e estados de energias, dimensões fenomênicas de Graceli.

[estruturas: isótopos, partículas, amorfos e cristalinos, paramagnéticos, dia, ferromagnéticos, e estados [físicos, quântico, de energias, de fenômenos, de transições, de interações, transformações e decaimentos, emissões e absorções, eletrostático, condutividade e fluidez]].

trans-intermecânica de supercondutividade no sistema categorial de Graceli.

EPG = d [hc] [T / IEEpei [pit] = [pTEMRLD] and [fao] [itd] [iicee] tetdvd [pe] cee [caG].]

p it = potentials of interactions and transformations.
Temperature divided by isotopes and physical states and potential states of energies and isotopes = emissions, random wave fluxes, ion interactions, charges and energies structures, tunnels and entanglements, transformations and decays, vibrations and dilations, electrostatic potential, conductivities, entropies and enthalpies. categories and agents of Graceli.

h e = quantum index and speed of light.

[pTEMRlD] = THERMAL, ELECTRICAL, MAGNETIC, RADIOACTIVE, Luminescence, DYNAMIC POTENTIAL] ..

EPG = GRACELI POTENTIAL STATUS.

[pTFE] = POTENCIAL DE TRANSIÇÕES DE FASES DE ESTADOS FÍSICOS E DE ENERGIAS E FANÔMENOS [TRANSIÇÕES DE GRACELI]

, [pTEMRLD] [hc] [pI] [PF] [pIT][pTFE] [CG].

segunda-feira, 24 de dezembro de 2018

paradoxo Graceli do ciclo eterno.

Um elétron no estado fundamental pode emitir um fóton com energia () maior que o dobro de sua energia de repouso (), ou seja, e cair para um estado de energia negativa como havia sido proposto pela equação de Dirac. Uma vez nesse estado, o elétron continuaria emitindo fótons já que não havia limite mínimo de energia negativa, pois essa se estende até - . porem, sempre quando emite fótons ou partículas menores recebe [absorve] infinitas outras partículas menores e fótons de luz, mantendo assim, a partícula emissora e os processos de emissão e absorção. com isto mantém também em atividade ¨o mar de Dirac¨.

,
x
decadimensional
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= i
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decadimensional
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δ_a(t) = 1/a, se │t│< a; = 0, se │t│> a; .
x
decadimensional
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(i g^m ¶_m - m c) F = 0
x
decadimensional
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matriz categorial Graceli.

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Sistema decadimensional Graceli.

1]Espaço cósmico.

2]Tempo cósmico e quântico.

3]Estruturas.

4]Energias.

5]Fenômenos.

6]Potenciais.

7]Transições de fases de estados físicos [amorfos e cristalinos] e estados de energias e fenômenos de Graceli.

9] especificidade térmica, de outras energias, e fenômenos das estruturas, e transições de fases.

10] especificidade de tempo de ações em processos físicos e quântico.

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Matriz categorial de Graceli.

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Segunda Quantização (Eletrodinâmica Quântica), a Estatística de Fermi-Dirac, a Equação de Dirac, o Prêmio Nobel de Física (PNF) de 1933, e o Paradoxo de Klein.

Neste item, veremos como Dirac realizou seus primeiros trabalhos científicos, que culminou com o compartilhamento do PNF de 1933, e alguns resultados decorrentes daqueles trabalhos. Para isso, usaremos o artigo do físico holandês-norte-americano Abraham Pais (1918-2000), no livro intitulado Paul Dirac: The man and his work (Cambridge University Press, 1998), editado por Peter Goddfard, assim como sua Nobel Biography e sua Nobel Lecture denominada Theory of Electrons and Positrons. Em Cambridge, Fowler ensinou a Dirac a então velha teoria quântica traduzida pela Equação de Bohr-Wilson-Ishiwara-Sommerfeld, construída entre 1913 e 1916. Por sua vez, em 1925, Dirac teve a oportunidade de conhecer os físicos, o dinamarquês Niels Henrik David Bohr (1885-1962; PNF, 1922), em maio de 1925, e o alemão Werner Karl Heisenberg (1901-1975; PNF, 1932), em julho de 1925, em virtude de conferências que esses físicos ministraram em Cambridge, sobre o que viria a ser conhecida como a Mecânica Quântica, que havia sido desenvolvida, em 1925, por Heisenberg (Zeitschrift fürPhysik 33, p. 879) e pelos físicos alemães Max Born (1882-1970; PNF, 1954) e Ernst Pascual Jordan (1902-1980) (Zeitschrift für Physik 34, p. 858). Em consequência desses encontros, Dirac apresentou, em novembro de 1925 (Proceedings of the Royal Society of London A109, p. 642), uma nova formulação da Mecânica Quântica de Born-Heisenberg-Jordan por intermédio de uma conexão entre essa Mecânica e a Mecânica Hamiltoniana. Desse modo, os novos entes matemáticos encontrados por Dirac nesse trabalho, que correspondiam às “quantidades de transição” (por exemplo, x e y representando duas quaisquer variáveis do sistema atômico) usadas por Heisenberg em seu artigo, apresentavam um produto não-comutativo, cuja diferença (xy - yx), no limite clássico, correspondia ao parêntesis de Poisson [apresentado pelo matemático francês Siméon Denis Poisson (1781-1840), em 1809 (Journal de l´Ecole Polytechnique 8, p. 266)], isto é:

onde p_i e q_i são as variáveis canonicamente conjugadas da Mecânica Hamiltoniana e [x, y] = xy – yxrepresenta o comutador ([]) entre x e y. Em maio de 1926, Dirac defendeu sua Tese de Doutoramento intitulada Quantum Mechanics e que foi publicada, ainda em 1926 (Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 23, p. 412). Também em 1926 (Proceedings of the Royal Society of London A111, p. 281, 405; Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 23, p. 500), Dirac aplicou sua Mecânica Quântica a uma grande variedade de problemas atômicos, dentre os quais, o efeito Compton, descoberto pelo físico norte-americano Arthur Holly Compton (1892-1962; PNF, 1927), em 1923 (Physical Review 21, p. 207, 483, 715; 22, p. 409; Philosophical Magazine 46, p. 897).

Por sua vez, em 1926 (Annales de Physique Leipzig 79, p. 361; 489; 734; 747; 80, p. 437; e 81, p. 136), o físico austríaco Erwin Schrödinger (1887-1961; PNF, 1933) desenvolveu a hoje conhecida Mecânica Quântica Ondulatória (MQO), traduzida pela Equação de Schrödinger (ES):

= i

onde é a função de onda de Schrödinger ou campo escalar, = é o operador laplaciano, é o operador Hamiltoniano [ = = operador energia cinética ( + operador energia potencial)], é um dado potencial e = h/2, sendo h a constante de Planck. Inicialmente, Dirac reagiu com hostilidade a esses trabalhos de Schrödinger, mas logo depois os aceitou e, em agosto de 1926 (Proceedings of the Royal Society of London A112, p. 661), aplicou a MQO para estudar os sistemas de partículas idênticas, encontrando dois grupos de soluções para seus estados de energia, uma simétrica e uma antissimétrica. Observou ainda que esses grupos não se combinam e não se podem transformar um no outro, pois apenas o grupo antissimétrico ao que denominou, nessa ocasião de princípio da exclusão de Pauli, [formulado pelo físico austríaco Wolfgang Pauli Junior (1900-1958; PNF, 1945), em 1925 (Zeitschrift für Physik 31, p. 765)]. Desse modo, Dirac demonstrou que elétrons livres (não interagentes) são descritos por uma função de onda representada por um determinante. Além do mais, ao aplicar à função de onda de uma partícula a condição de quantização imposta às condições de fronteira da mesma, Dirac obteve a Estatística de Fermi [proposta pelo físico ítalo-norte-americano Enrico Fermi (1901-1954; PNF, 1938), em 1926 (Zeitschrift für Physik 36, p. 902)], razão pela qual é hoje conhecida como Estatística de Fermi-Dirac. Dirac observou ainda que se esse procedimento fosse aplicado à função de onda simétrica, resultaria como consequência a Estatística de Bose-Einstein [proposta, em 1924, pelos físicos, o indiano Satyendra Nath Bose (1894-1974) (Zeitschrift für Physik 26, p. 178) e o germano-suíço-norte-americano Albert Einstein (1879-1955; PNF, 1921) (Preussische Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Mathematisch-PhysikalischeKlasse, Sitzungsberichte, p. 261)]. É oportuno destacar que Heisenberg, também em 1926 (Zeitschriftfür Physik 38; 39, p. 411; 499), usou a MQO para estudar o átomo de hélio (He).

Depois de obter seu Doutoramento, Dirac foi, em setembro de 1926, para Copenhague trabalhar com Bohr, a quem admirava bastante. Lá, Dirac usou as transformações canônicas ou teoria da transformação na Mecânica Quântica e na Eletrodinâmica. Desse pós-doutoramento (setembro de 1926-fevereiro de 1927) que realizou com Bohr, Dirac publicou, em 1927, três trabalhos fundamentais para a Teoria Quântica. No primeiro deles (Proceedings of the Royal Society A113, p. 621), Dirac apresentou a hoje famosa função delta de Dirac [δ(t)], com a seguinte definição [ver: José Maria Filardo Bassalo e Mauro Sérgio Dorsa Cattani, Elementos de Física Matemática, Vol. 1 (Livraria da Física/Maluhy&Co.2010):

δ_a(t) = 1/a, se │t│< a; = 0, se │t│> a; .

É interessante destacar que Dirac reuniu esses trabalhos sobre Mecânica Quântica em seu célebre livro (até hoje em uso) intitulado Principles of Quantum Mechanics, publicado em 1930 (Oxford University Press).

Ainda em 1927 (Proceedings of the Royal Society A114, p. 243; 710), Dirac publicou dois trabalhos (o primeiro em Copenhague e o segundo em Goettingen) nos quais considerou e sua conjugada , como operadores (em vez de números como Schrödinger havia considerado, em 1926, como vimos acima), porém sua álgebra era não-comutativa, isto é: . Com esse procedimento, conhecido como Teoria Quântica da Emissão e Absorção da Radiação {também conhecida comoSegunda Quantização, que considera os operadores: criação (), destruição () e número de ocupação ou conservação (N = a⁺ a^-) que satisfazem as seguintes regras de comutação: [a_α, a] = δ_αβ, [a, a] = [a⁺, a⁺] = 0}, Dirac quantizou o campo eletromagnético, procedimento esse que deu origem ao desenvolvimento da Eletrodinâmica Quântica (QED: “Quantum Electrodynamics”).

Em 1927, por ocasião da Quinta Conferência de Solvay que aconteceu em Bruxelas, Dirac encontrou-se com Bohr que lhe perguntou em que estava trabalhando, Dirac então lhe respondeu que buscava uma teoria relativista do elétron. Bohr retrucou dizendo-lhe que o físico sueco Oskar Benjamin Klein (1894-1977), em 1926 (Zeitschrift für Physik 37, p. 895), já havia realizado essa teoria. Dirac não concordou com essa afirmação, pois sabia que Klein fizera apenas uma versão relativística da Equação de Schrödinger. Dirac, contudo, buscava outro caminho e que foi encontrado por ele, em 1928 (Proceedings of the Royal Society A117; A118, p. 610; 351), deduzindo a hoje famosa Equação de Dirac (ED) - (i g^m ¶_m - m c) F = 0 -, onde g^m é a matriz de Dirac (matriz 4 ´ 4), ¶_m = ¶/¶x^m (m = 1, 2, 3, 4), F é o spinor de Dirac (matriz coluna), é a massa do elétron, e é a velocidade da luz no vácuo. É interessante destacar que, em 1974, Dirac escreveu o livro denominado Spinors in Hilbert Space(Plenum), no qual ele estuda os spinores com o formalismo do Espaço de Hilbert.

Vejamos alguns resultados importantes da ED. Primeiro, ela conseguiu remover a degenerescência dos níveis de energia das órbitas eletrônicas Bohrianas (dependência apenas do número quântico ) indicada pela Equação de Schrödinger. No entanto, ela apresentou uma nova degenerescência entre os níveis de energia e do átomo de hidrogênio (H). Registre-se que, de um modo geral, o nível de energia das órbitas atômicas é caracterizado por: , onde () representam, respectivamente, os números quânticos: principal (n, correspondente a energia), momento angular orbital (), spin (s =1/2) e momento angular total (j).

Outro resultado importante da ED decorreu de sua solução para o elétron livre. Nesta solução, Dirac encontrou que ela não só descrevia o elétron com momento e energia positiva, mas tinha outra solução que descrevia partículas idênticas a elétrons, porém com carga positiva e energia negativa. Ele chamou essas partículas de “buracos” e afirmou que eles ocupavam todos os estados de energia negativa, o famoso “mar de Dirac”. Nessa época, Dirac não havia entendido bem essa outra solução. Assim, esse “buraco” foi interpretado como sendo um próton, em 1929 (Zeitschrift fürPhysik 56, p. 330), pelo matemático alemão Hermann Weyl (1885-1955) e, ainda em 1929 (Proceedings of the Royal Society of London A126, p. 360) e em 1930 (Nature 126, p. 605), pelo próprio Dirac. Essa interpretação decorria do fato de que, naquela época, só se conheciam dois tipos de partículas elementares: elétrons e prótons. Por sua vez, o núcleo atômico era considerado formado de prótons e elétrons. Porém, Dirac não ficou muito satisfeito com essa proposta, uma vez que já se sabia que os prótons tinham massa cerca de 1.840 vezes maior do que à dos elétrons.

Ainda em 1930, em trabalhos independentes, os físicos, o norte-americano Julius Robert Oppenheimer (1904-1967) (Physical Review 35, p. 562) e o russo Igor Yevgenyevich Tamm (1895-1971; PNF, 1958) (Zeitschrift für Physik 62, p. 545), mostraram que o “buraco” não poderia ser um próton, pois, desse modo, tornaria o átomo instável por causa do processo: próton + elétron fótons. Em 1931 (Proceedings of the Royal Society of London A133, p. 60), Dirac aceitou a ideia de que o “buraco” seria uma nova espécie de partícula, até então desconhecida pelos físicos experimentais, a qual chamou de “anti-elétron”. Destaque-se que essa “nova partícula” foi descoberta pelo físico norte-americano Carl David Anderson (1905-1991; PNF, 1935), em 1932 (Proceedings ofthe Royal Society of London A41, p. 405; Science 76, p. 238), e que recebeu o nome de pósitron (). É interessante destacar que, em 1929, os físicos, o russo Dmitry Vladimirovich Skobeltzyn (1892-1992) (Zeitschrift für Physik 54, p. 686) e, em 1930 (Nature 125, p. 636), o italiano Bruno BenedettiRossi (1905-1994), encontraram evidências experimentais da existência do “buraco” previsto por Dirac.

Ainda com relação ao “mar de Dirac”, havia a seguinte questão. Como vimos acima, ao aplicar sua equação aos elétrons livres, Dirac observou que estes poderiam existir em estados de energia negativa e contínua, variando de até . No entanto, a segunda quantização diracianamostrava que um elétron em um estado bohriano excitado perde energia espontaneamente por emissão de um fóton (g), caindo, como consequência, no estado fundamental.

Tendo em vista o resultado acima, o físico sueco Oskar Benjamin Klein (1894-1977), em 1929 (Zeitschrift für Physik 53, p. 157) apresentou a seguinte questão, conhecida como Paradoxo de Klein:

Um elétron no estado fundamental pode emitir um fóton com energia () maior que o dobro de sua energia de repouso (), ou seja, e cair para um estado de energia negativa como havia sido proposto pela equação de Dirac. Uma vez nesse estado, o elétron continuaria emitindo fótons já que não havia limite mínimo de energia negativa, pois essa se estende até - . Isso, contudo, não é observado experimentalmente.

A solução para esse “paradoxo” foi apresentada pelo próprio Dirac, nos artigos de 1929 e 1930, citados anteriormente, nos quais afirmou que, em condições normais, os estados de energia negativa estão todos ocupados por elétrons, o ``mar de Dirac”, já referido. Assim, as transições catastróficas previstas por Klein eram proibidas pelo princípio da exclusão de Pauli, de 1925, referido acima. Ainda nesses trabalhos, Dirac afirmou que um desses elétrons pode absorver um fóton com energia () maior do que o dobro de sua massa de repouso () – - e tornar-se um estado de energia positiva; como resultado, um ``buraco” ou ``anti-elétron” é criado nesse ``mar”, que corresponde a um próton, conforme já destacamos anteriormente. Desse modo, estava explicado o Paradoxo de Klein.

domingo, 6 de janeiro de 2019

teoria Graceli de transições de estados físicos, de estados quântico, de estados físicos e de isótopos, de fenômenos, e outros.

T = TRANSIÇÕES DE ESTADOS.

TE * F,Q,E,F, T
+

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

X
DECADIMENSIONAL
X

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

= entropia reversível

matriz categorial Graceli.

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

Sistema decadimensional Graceli.

1]Espaço cósmico.

2]Tempo cósmico e quântico.

3]Estruturas.

4]Energias.

5]Fenômenos.

6]Potenciais., e potenciais de campos, de energias, de transições de estruturas e estados físicos, quãntico, e estados de fenômenos e estados de transições, transformações e decaimentos.

7]Transições de fases de estados físicos [amorfos e cristalinos] e estados de energias e fenômenos de Graceli.

9] especificidade térmica, de outras energias, e fenômenos das estruturas, e transições de fases.

10] especificidade de tempo de ações em processos físicos e quântico.

T l T l E l Fl dfG l

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Matriz categorial de Graceli.

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Ta l Rl

teoria Graceli de transições de estados físicos, de estados quântico, de estados físicos e de isótopos, de fenômenos, e outros.

T * F,Q,E,F, T
+

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

X
DECADIMENSIONAL
X

T l T l E l Fl dfG l

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Ta l Rl

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

= entropia reversível

matriz categorial Graceli.

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

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Ta l Rl

Sistema decadimensional Graceli.

1]Espaço cósmico.

2]Tempo cósmico e quântico.

3]Estruturas.

4]Energias.

5]Fenômenos.

6]Potenciais., e potenciais de campos, de energias, de transições de estruturas e estados físicos, quãntico, e estados de fenômenos e estados de transições, transformações e decaimentos.

7]Transições de fases de estados físicos [amorfos e cristalinos] e estados de energias e fenômenos de Graceli.

9] especificidade térmica, de outras energias, e fenômenos das estruturas, e transições de fases.

10] especificidade de tempo de ações em processos físicos e quântico.

T l T l E l Fl dfG l

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Matriz categorial de Graceli.

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domingo, 30 de dezembro de 2018

Eletrodinâmica quântica (EDQ), ou QED, de Quantum electrodynamics, é uma teoria quântica de campos do eletromagnetismo. A EDQ descreve todos os fenômenos envolvendo partículas eletricamente carregadas interagindo por meio da força eletromagnética. Sua capacidade de predição de grandezas como o momento magnético anômalo do múon e o desvio de Lamb dos níveis de energia do hidrogênioa tornou uma teoria renomada.

História

A eletrodinâmica foi a evolução natural das teorias da antigamente denominada segunda quantização, isto é, quantização dos campos, ao ramo da eletrodinâmica.

As teorias de campo são necessariamente relativísticas, já que admitindo-se que haja partículas mensageiras na troca de energia e momento mediados pelo campo, essas mesmas partículas, a exemplo do fóton (que historicamente precedeu a descoberta das teorias de quantização do campo) devem se deslocar a velocidades próximas ou igual à da luz no vácuo (c = 299 792 458 m/s).

A primeira formulação da eletrodinâmica quântica é atribuída a Paul Dirac, que nos anos 1920 foi capaz de calcular o coeficiente de emissão espontânea do átomo.^[1] Essa teoria se desenvolveu a partir dos trabalhos Sin-Itiro Tomonaga, Julian Schwinger e Richard Feynman. Pelos seus trabalhos, eles ganharam o prêmio Nobel de Física em 1965.

Desenvolvimento formal

A eletrodinâmica quântica é uma teoria abeliana de calibre, dotada de um grupo de calibre U(1).

O campo de calibre que media a interação entre campos de spin 1/2, é o campo eletromagnético, que se apresenta sob a forma de fótons.

A descrição da interação se dá através da lagrangiana para a interação entre elétrons e pósitrons, que é dada por:

{\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }

onde

\ \psi

e sua adjunta de Dirac

{\bar {\psi }}

são os campos representando partículas eletricamente carregadas, especificamente, os campos do elétron e pósitron representados como espinores de Dirac.

{\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

x
decadimensional
x

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P l Ml tfefel

Ta l Rl

indeterminate trans-intermechanism of specificity in a decadimensional and categorical Graceli system.

each isotope has its phase transition specificity according to its peculiarities and potentiality and according to each energy and specific phenomena for each isotope and phase in which it is.

with their own variations on decay, conductivity, transformations, ion and charge interactions, electrostatic potential, quantum flux and momentum, jumps, diffractions, and others.

that is, a trans-intermechanic is formed for a system of specificity and relative to a decadimensional and categorial Graceli system, leading to transcendentality in strings and infinite, and indeterminate.

Graceli's transitionality theory in the Graceli decadimensional and categorical system.

where according to the five category dimensions and the ten physical dimensions and according to the categories there are random variations and flows according to the specificities in the transitions, such as transitions of quantum states, states of energies, physical states, states of phenomena and their interrelationships, and others.

as it has effects and variations for waves, particles, thermal, electrical, and other variations, if there is a possibility of other physicals for specificities [where there are variations of transitions according to types and levels of energies, structures, phenomena, and dimensions, and transitionalities.

the categories dimensions can be divided into five diversified forms.

types, levels, potentials, time of action, specificities of energy transitions, of phenomena, of states of energies, physical [structural], phenomena, quantum states, and others.

trans-intermecânica indeterminada de especificidade num sistema decadimensional e categorial Graceli.

cada isótopo tem a sua especificidade de transição de fases conforme as suas peculiaridades e potencialidade e conforme cada energia e fenõmenos específicos para cada isótopo e fase em que se encontra.

com variações próprias sobre decaimentos, condutividade, transformações, interações de íons e cargas, potencial eletrostático, fluxos e momentum quântico, saltos, difrações, e outros.

ou seja, se forma uma trans-intermecânica para um sistema de especificidade e relativo a um sistema decadimensional e categorial Graceli, levando a uma transcendentalidade em cadeias e infinita, e indeterminada.

teoria da transicionalidade de Graceli no sistema decadimensional e categorial Graceli.

onde conforme as cinco dimensões categoriais e as dez dimensões físicas e conforme as categorias se tem variações e fluxos aleatórios conforme as especificidades nas transições, como transições de estados quântico, estados de energias, de estados físicos, estados de fenômenos e suas inter-relações, e outros.

como se tem efeitos e variações para ondas, partículas, variações térmica, elétrica, e outros , se tem uma possibilidade de haver outras físicas para especificidades [onde se tem variações de transições conforme tipos, e níveis de energias, de estruturas, de fenõmenos, e de dimensões, e transicionalidades.

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

= entropia reversível

matriz categorial Graceli.

T l T l E l Fl dfG l

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Ta l Rl

Sistema decadimensional Graceli.

1]Espaço cósmico.

2]Tempo cósmico e quântico.

3]Estruturas.

4]Energias.

5]Fenômenos.

6]Potenciais., e potenciais de campos, de energias, de transições de estruturas e estados físicos, quãntico, e estados de fenômenos e estados de transições, transformações e decaimentos.

7]Transições de fases de estados físicos [amorfos e cristalinos] e estados de energias e fenômenos de Graceli.

9] especificidade térmica, de outras energias, e fenômenos das estruturas, e transições de fases.

10] especificidade de tempo de ações em processos físicos e quântico.

T l T l E l Fl dfG l

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Matriz categorial de Graceli.

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quinta-feira, 10 de janeiro de 2019

Q = I^2 \cdot R \cdot t

x
e = m
x
V, R, I, T
X

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

X
DECADIMENSIONAL
X

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Ta l Rl

Q = R \int_{t_1}^{t_2} i^2 dt \,

x
e = m
x
V, R, I, T
X

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

X
DECADIMENSIONAL
X

T l T l E l Fl dfG l

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P l Ml tfefel

Ta l Rl

\ W = Q.U

x
e = m
x
V, R, I, T
X

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

X
DECADIMENSIONAL
X

T l T l E l Fl dfG l

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Ta l Rl

W=R\cdot I^{2}\cdot t

x
e = m
x
V, R, I, T
X

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

X
DECADIMENSIONAL
X

T l T l E l Fl dfG l

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P l Ml tfefel

Ta l Rl

P = Q/t = I^2 \cdot R

x
e = m
x
V, R, I, T
X

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

X
DECADIMENSIONAL
X

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Ta l Rl

A lei de Joule (também conhecida como efeito Joule ou efeito térmico) é uma lei física que expressa a relação entre o calor gerado e a corrente elétrica que percorre um condutor em determinado tempo. Um resistor é um dispositivo que transforma a energia elétrica integralmente em calor.^[1] O nome é devido a James Prescott Joule (1818-1889) que estudou o fenômeno em 1840 e, um ano mais tarde, publicada na Philosophical Magazine, pela Royal Society.^[2]

Definição[editar | editar código-fonte]

Ela pode ser expressa por:^[1]

Q = I^2 \cdot R \cdot t

onde:

Q é o calor gerado por uma corrente constante percorrendo uma determinada resistência elétrica por determinado tempo.
I é a corrente elétrica que percorre o condutor com determinada resistência R.
R é a resistência elétrica do condutor.
t é a duração ou intervalo de tempo em que a corrente elétrica percorreu ao condutor.

Se a corrente não for constante em relação ao tempo:

Q = R \int_{t_1}^{t_2} i^2 dt \,

Termodinâmica[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Termodinâmica

Quando uma corrente elétrica atravessa um material condutor, há produção de calor. Essa produção de calor é devida ao trabalho realizado para transportar as cargas através do material em determinado tempo.

Unidade joule[editar | editar código-fonte]

A lei de Joule está relacionada com a definição de joule onde:

Um joule é o trabalho realizado para transportar um coulomb (unidade de medida da carga elétrica) de um ponto para outro, estando os dois pontos a uma diferença de potencial de um volt (unidade de medida da diferença de potencial).
O trabalho é dado por:

\ W = Q.U

Onde:

W é o trabalho elétrico (em joule).
Q é a carga (em coulomb).
U é a diferença de potencial (em volt).

Teoria cinética[editar | editar código-fonte]

A nível molecular o aquecimento acontece por causa da colisão dos elétrons com os átomos do condutor, em que o momento é transferido ao átomo, aumentando a sua energia cinética (ver calor).

Podemos dizer, portanto, que, quando o elétron colide com os átomos, fazem com que os núcleos vibrem com maior intensidade. O grau de agitação molecular é chamado de temperatura, ou seja, quando os elétrons colidem, aumentam a energia cinética dos átomos, sua temperatura.

Efeito de Joule[editar | editar código-fonte]

A passagem da corrente elétrica num condutor provoca o aumento de temperatura liberando calor.^[3] A energia elétrica que se transforma em energia calorífica num receptor ou condutor, é diretamente proporcional à resistência elétrica, ao quadrado da intensidade da corrente que o percorre e ao tempo de passagem da corrente. Esta lei é traduzida matematicamente pela seguinte expressão^[3]:

W=R\cdot I^{2}\cdot t

Em que:

W - é o trabalho ou a energia dissipada por efeito joule (em joules).
R - é a resistência elétrica (em ohms).
I - é a intensidade de corrente que percorre o receptor ou condutor (em ampères).
t - o tempo de passagem da mesma corrente (em segundos).

Vantagens e inconvenientes[editar | editar código-fonte]

Vantagens[editar | editar código-fonte]

A corrente elétrica ao atravessar um condutor, provoca nele um aumento de temperatura. Este efeito é aproveitado em ferros de passar, aquecedores, soldadores elétricos, secador de mãos, fogões, fornos, iluminação, proteção de instalações elétricas (fusíveis e disjuntores), etc.^[3]

Inconvenientes[editar | editar código-fonte]

Em grande parte de aplicações da energia elétrica, a produção de calor correspondente a perdas e em algumas situações pode originar danos mais ou menos graves, nomeadamente quando se verifica um curto-circuito ou maus contatos. Daí há necessidade de utilizar condutores devidamente calibrados para a corrente que vão suportar, bem como prever as proteções e isolamentos convenientes.^[4]

Potência dissipada[editar | editar código-fonte]

Nos resistores elétricos pode-se calcular a potência dissipada utilizando a Lei de Joule:

P = Q/t = I^2 \cdot R

e = m
x
V, R, I, T
X

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

X
DECADIMENSIONAL
X

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

energia = massa no sistema decadimensional e categorial Graceli.

quarta-feira, 9 de janeiro de 2019

conforme vibra, rotacional, interage e se transforma um sistema ou partícula este muda o seu estado entrópico levando a um indeterminismo e conforme o sistema decadimensional e categorial Graceli.

levando também à mudanças de estados de energias, de massa, de tempo e espaço, de potenciais de interações transformações, condutividades, resistências, dispersões, emissões, absorções, difrações, e outros.

V, R, I, T = VARIAÇÃO DE ENTROPIA, VARIAÇÃO DE MASSA, ENERGIA, TEMPO, ESPAÇO, TRANSFORAMÇÕES, CONDUTIVIDADES, E OUTROS.

V, R, I, T
X

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

X
DECADIMENSIONAL
X

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

PV=nRT

+
V, R, I, T
X

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

X
DECADIMENSIONAL
X

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

U={\frac {3}{2}}PV

+
V, R, I, T
X

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

X
DECADIMENSIONAL
X

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

U_{(S,V,N)}=N\left({\frac {N}{V}}\right)^{\frac {2}{3}}e^{{\frac {2}{3}}\left({\frac {S}{Nk_{B}}}-c\right)}

+
V, R, I, T
X

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

X
DECADIMENSIONAL
X

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

Uma função de estado é uma função que descreve uma relação entre duas ou mais variáveis de estado que definem o estado de um sistema termodinâmico. Designa também qualquer variável de estado assumida dependente daquelas escolhidas para definirem-se os estados do sistema e por tal tratadas como independentes.

Definição[editar | editar código-fonte]

Em termodinâmica, as variáveis de estado ou variáveis termodinâmicas são as grandezas físicas termodinâmicas utilizadas na definição e descrição do estado de um sistema termodinâmico.

Algumas das variáveis de estado, comuns a todos os sistemas termodinâmicos massivos, incluso os mais simples, são:

massa (m) ; quantidade de matéria (n) ; Pressão (P) ; Temperatura (T) ; Volume (V) ; Energia interna (U) e Entropia (S).

Há ainda outras, não menos importantes, tais como:

Entalpia (H) ; Energia livre de Helmholtz (A); Energia livre de Gibbs (G); Magnetização (

{\vec {M}}

) ; etc.

Um estado de um sistema é descrito por um conjunto específicos de valores de suas variáveis de estado. A definição de "estado" do sistema - e mesmo das variáveis de estado - assume em princípio o sistema em equilíbrio termodinâmico.

Um dado sistema termodinâmico altera o seu estado de equilíbrio em virtude de alterações nas interações que estabelece com a sua fronteira ou mesmo vizinhança. Ao fazê-lo, o processo desencadeado pode dar-se e usualmente se dá de forma abrupta o suficiente para que não se possa definir estado de equilíbrio durante a transição entre os assumidos estados de equilíbrio inicial e final. Poucos são os casos onde os processos - então nomeados processos quasi-estáticos - dão-se de forma adequada o suficiente para que se possa corretamente descrevê-los via uma sequência de incontáveis transições diferenciais entre estados de equilíbrio imediatamente adjacentes, ou seja, entre estados quasi-idênticos, de forma que o sistema possa sempre ser assumido estar em equilíbrio termodinâmico em qualquer instante durante a transição.

O conjunto de valores das variáveis de estado define o estado do sistema apenas quando esse encontra-se no equilíbrio termodinâmico, e tais variáveis não podem - ao menos sem considerações muito específicas - ser usadas para descrever a evolução temporal do sistema na grande maioria dos processos termodinâmicos onde, durante a transição de um estado de equilíbrio a outro, o sistema não está em equilíbrio (muitas das variáveis de estado não são sequer definidas em tal situação). Tal descrição é corretamente possível apenas nos processos quasi-estáticos.

Independente da forma como se dá o processo que culmina por levar o sistema de um dado estado a outro qualquer, uma vez comparados os valores das variáveis de estado nos diversos estados de equilíbrio possíveis para o sistema (usualmente mas não necessariamente um sistema fechado), verifica-se contudo que, em qualquer estado, há vínculos e restrições de natureza física conectando os diversos valores possíveis das variáveis de estado. Igualmente satisfeitos em qualquer estado do sistema, são tais vínculos que, nos processos termodinâmicos, não permitem que os valores das variáveis de estado se alterem de forma indiscriminada ou mesmo de forma completamente independente das demais, mesmo que o processo entre os estados seja em essência um processo caótico e de não equilíbrio.

As relações de dependência entre as variáveis - as funções de estado, traduzidas matematicamente na forma de equações de estado - são relações que conectam os possíveis valores de um dado subconjunto de variáveis de estado de um sistema. Dá-se também o nome de "função de estado" às variáveis de estado que são assumidas dependentes de outras - geralmente daquelas escolhidas para definir-se o estado. Assim, a energia interna U de um gás ideal é dita ser uma "função de estado; sendo as variáveis independentes - as que definem o estado no estudo de tais gases - usualmente escolhidas como sendo a temperatura T, a pressão P e o volume V do gás.

É nesses termos e com base no antes exposto que se diz: A variação de uma função de estado depende apenas do estado final e do estado inicial do sistema.

Uma função de estado estabelece relações entre um determinado número de variáveis de estado, mas não necessariamente entre todas simultaneamente, havendo assim várias equações de estado possíveis para um sistema. Uma função de estado usualmente não encerra em si todas as propriedades físicas do sistema, e não é assim capaz, ao menos sozinha, de descrevê-lo completamente. Precisa-se usualmente de um conjunto mínimo de equações de estado independentes para fazê-lo.

É possível contudo escrever-se uma única equação - nomeada equação fundamental - que encerra em si todas as propriedades físicas do sistema. Essa equação descreve, sozinha, todo o sistema, e dela é possível extrair-se todas as equações de estado desejadas. Para fazê-lo basta utilizar o formalismo termodinâmico associado.

Exemplo - Gás monoatômico ideal[editar | editar código-fonte]

Considere um sistema definido por uma certa massa de gás ideal monoatômico. A análise de tal sistema revela que, para ele, há as seguintes equações de estado:

PV=nRT

(relação de Clapeyron)

Nas expressões anteriores, n representa a quantidade de matéria do sistema, em mols, e R é a constante dos gases ideais.

As partículas de um gás monoatômico só possuem movimentos de translação e, como se trata de um gás ideal, não interagem entre si. Assim, classicamente, a energia interna deste gás é dependente apenas da energia cinética das partículas, energia que por sua vez liga-se diretamente ao conceito de temperatura do sistema. Logo, nesse caso, a energia interna é função exclusiva da temperatura. Basta saber-se a temperatura de uma amostra de gás ideal em equilíbrio termodinâmico que pode-se, então, determinar sua energia interna.

A relação para a energia interna do gás em função da temperatura acima define uma função de estado. Observe que a energia interna depende da temperatura contudo independe de como o sistema chegou à essa temperatura. Qualquer que seja o processo a qual se submeta o sistema, provido que esse regresse à mesma inicial temperatura T, ter-se-á uma variação nula de sua energia interna.^[1]

Observe contudo que pode-se combinar as duas equações acima para se gerar outra equação de estado, uma que envolva a energia interna, a pressão e o volume:

U={\frac {3}{2}}PV

Para um mesmo valor de temperatura e por conseguinte para uma mesma energia interna, há diversos estados possíveis do sistema, cada qual com uma pressão e um volume diferentes.

Embora possam-se cogitar outras equações de estado, nenhuma delas, sozinha, encerram em si todas as informações físicas acerca do sistema.

Ao contrário, uma equação que vincule a energia interna U do gás ideal à sua entropia S, ao seu número de partículas N e ao seu volume V encerrará em si própria todas as informações físicas pertinentes ao sistema assim definido, e constitui assim uma equação fundamental de tal sistema. A título de curiosidade, a equação fundamental para um sistema composto por N partículas de um gás ideal confinados em um volume V e com energia interna U é, na representação da energia, com

k_{B}

representando a constante de Boltzmann e c uma constante adequadamente escolhida:

U_{(S,V,N)}=N\left({\frac {N}{V}}\right)^{\frac {2}{3}}e^{{\frac {2}{3}}\left({\frac {S}{Nk_{B}}}-c\right)}

^[2]

Através da transformada de Legendre é possível reescrever-se à equação acima, obtendo-se assim várias outras equações fundamentais, cada qual encerrando sozinha todas as informações físicas acerca do sistema em consideração.

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

= entropia reversível

matriz categorial Graceli.

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

Sistema decadimensional Graceli.

1]Espaço cósmico.

2]Tempo cósmico e quântico.

3]Estruturas.

4]Energias.

5]Fenômenos.

6]Potenciais., e potenciais de campos, de energias, de transições de estruturas e estados físicos, quãntico, e estados de fenômenos e estados de transições, transformações e decaimentos.

7]Transições de fases de estados físicos [amorfos e cristalinos] e estados de energias e fenômenos de Graceli.

9] especificidade térmica, de outras energias, e fenômenos das estruturas, e transições de fases.

10] especificidade de tempo de ações em processos físicos e quântico.

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

Matriz categorial de Graceli.

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

quarta-feira, 19 de dezembro de 2018

{\hat {H}}\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

x

decadimensional

x

T l T l E l Fl dfG l N l El tf l P l Ml tfefel Ta l Rl Ll D

{\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}\left(x\right)+V\left(x\right)\psi \left(x\right)=E\psi \left(x\right)

x

decadimensional

x

T l T l E l Fl dfG l N l El tf l P l Ml tfefel Ta l Rl Ll D

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{{\nabla }^{2}}\psi \left({\vec {r}}\right)+V\left({\vec {r}}\right)\psi \left({\vec {r}}\right)=E\psi \left({\vec {r}}\right)

x

decadimensional

x

T l T l E l Fl dfG l N l El tf l P l Ml tfefel Ta l Rl Ll D

estados indeterminados conforme o sistema decadimensional e categorial Graceli.

\psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {1}{2^{n}\,n!}}}\cdot \left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\cdot e^{-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar }}}\cdot H_{n}\left({\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\right),\qquad

n=0,1,2,\ldots .

x

decadimensional

x

T l T l E l Fl dfG l N l El tf l P l Ml tfefel Ta l Rl Ll D

matriz categorial Graceli.

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

Sistema decadimensional Graceli.

1]Espaço cósmico.

2]Tempo cósmico e quântico.

3]Estruturas.

4]Energias.

5]Fenômenos.

6]Potenciais.

7]Transições de fases de estados físicos [amorfos e cristalinos] e estados de energias e fenômenos de Graceli.

9] especificidade térmica, de outras energias, e fenômenos das estruturas, e transições de fases.

10] especificidade de tempo de ações em processos físicos e quântico.

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N l El tf l

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Matriz categorial de Graceli.

T l T l E l Fl dfG l

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Ta l Rl

Na mecânica quântica, a equação de Schrödinger é uma equação diferencial parcial que descreve como o estado quântico de um sistema físico muda com o tempo. Foi formulada no final de 1925, e publicado em 1926, pelo físico austríaco Erwin Schrödinger.^[1]

Na mecânica clássica, a equação de movimento é a segunda lei de Newton, (

F = m a

) utilizada para prever matematicamente o que o sistema fará a qualquer momento após as condições iniciais do sistema. Na mecânica quântica, o análogo da lei de Newton é a equação de Schrödinger para o sistema quântico (geralmente átomos, moléculas e partículas subatômicas sejam elas livres, ligadas ou localizadas). Não é uma equação algébrica simples, mas, em geral, uma equação diferencial parcial linear, que descreve o tempo de evolução da função de onda do sistema (também chamada de "função de estado").^[2]^:1–2

O conceito de uma função de onda é um postulado fundamental da mecânica quântica. A equação de Schrödinger também é muitas vezes apresentada como um postulado separado, mas alguns autores^[3]^{:Capítulo 3} afirmam que pode ser derivada de princípios de simetria. Geralmente, "derivações" da equação demonstrando sua plausibilidade matemática para descrever dualidade onda-partícula.

Na interpretação padrão da mecânica quântica, a função de onda é a descrição mais completa que pode ser dada a um sistema físico. As soluções para a equação de Schrödinger descrevem não só sistemas moleculares, atômicas e subatômicas, mas também os sistemas macroscópicos, possivelmente, até mesmo todo o universo.^[4]^:292ff A equação de Schrödinger, em sua forma mais geral, é compatível tanto com a mecânica clássica ou a relatividade especial, mas a formulação original do próprio Schrödinger era não-relativista.

A equação de Schrödinger não é a única maneira de fazer previsões em mecânica quântica — outras formulações podem ser utilizadas, tais como a mecânica matricial de Werner Heisenberg, e o trajeto da integração funcional de Richard Feynman.

Equação

Equação dependente do tempo

Usando a notação de Dirac, o vetor de estados é dado, em um instante

t

por

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

. A equação de Schrödinger dependente do tempo, então, escreve-se:^[5]

Equação de Schrödinger Dependente do Tempo (geral)

{\hat {H}}\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

Em que

i

é a unidade imaginária,

\hbar

é a constante de Planck dividida por

2\pi

, e o Hamiltoniano

{\hat {H}}

é um operador auto-adjunto atuando no vetor de estados. O Hamiltoniano representa a energia total do sistema. Assim como a força na segunda Lei de Newton, ele não é definido pela equação e deve ser determinado pelas propriedades físicas do sistema.

Equação independente do tempo[editar | editar código-fonte]

Equação unidimensional

Em uma dimensão, a equação de Schrödinger independente do tempo para uma partícula escreve-se:^[6]

{\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}\left(x\right)+V\left(x\right)\psi \left(x\right)=E\psi \left(x\right)

em que

\psi \left(x\right)

é a função de onda independente do tempo em função da coordenada

x

;

\hbar

é a constante de Planck

h

dividida por

2\pi

;

m

é a massa da partícula;

V\left(x\right)

é a função energia potencial e

E

é a energia do sistema.

Equação multidimensional

Em mais de uma dimensão a equação de Schrödinger independente do tempo para uma partícula escreve-se:^[7]

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{{\nabla }^{2}}\psi \left({\vec {r}}\right)+V\left({\vec {r}}\right)\psi \left({\vec {r}}\right)=E\psi \left({\vec {r}}\right)

em que

{\nabla }^{2}\psi =\sum _{n=1}^{N}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x_{n}^{2}}}

é o operador laplaciano em

N

dimensões aplicado à função

\psi

Relação com outros princípios

Uma maneira mais didática de observar a equação de Schrödinger é em sua forma independente do tempo e em uma dimensão. Para tanto, serão necessárias três relações:

Definição de Energia Mecânica:

E_{m}=E_{c}+V

Equação do Oscilador harmônico:

\quad {\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+\left({\frac {2\pi }{\lambda }}\right)^{2}\psi =0

Relação de De Broglie:

\lambda ={\frac {h}{p}}

Onde

\psi

é a função de onda,

\lambda

é o comprimento de onda, h é a constante de Planck e p é o momento linear.

Da Relação de De Broglie, temos que

\lambda ={\frac {h}{mv}}

, que pode ser substituída na equação do Oscilador Harmônico:

\quad {\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+\left({\frac {2\pi mv}{h}}\right)^{2}\psi =0\to \quad {\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}={\frac {-4(\pi )^{2}m^{2}v^{2}}{h^{2}}}\psi \to {\frac {-h^{2}}{4(\pi )^{2}m^{2}}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}=v^{2}\psi

Rearranjando a equação de energia, temos que

v^{2}={\frac {2(E_{m}-V)}{m}}

, substituindo

v^{2}

na equação anterior:

{\frac {-h^{2}}{4(\pi )^{2}m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}=2(E_{m}-V)\psi

, definindo

\hbar \ ={\frac {h}{2\pi }}

, temos:

{\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V\psi =E\psi

Que é a Equação Independente do Tempo de Schrödinger e também pode ser escrita na notação de operadores:

{\widehat {H}}\psi =E\psi

, em que

{\widehat {H}}\psi

é o Operador Hamiltoniano operando sobre a função de onda.

Partícula em uma caixa rígida

Ver artigo principal: Partícula em uma caixa

Oscilador harmônico quântico

Ver artigo principal: Oscilador harmônico quântico

Assim como na mecânica clássica, a energia potencial do oscilador harmônico simples unidimensional é:^[8]

V\left(x\right)={\frac {1}{2}}kx^{2}

Lembrando a relação

\omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}

, também pode se escrever:

V\left(x\right)={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}

Então a equação de Schrödinger para o sistema é:

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\psi =E\psi

Solucionando a equação de Schrödinger, obtém-se os seguintes estados estacionários:

\psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {1}{2^{n}\,n!}}}\cdot \left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\cdot e^{-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar }}}\cdot H_{n}\left({\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\right),\qquad

n=0,1,2,\ldots .

em que H_n são os polinômios de Hermite.

H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{-x^{2}}\right)

E os níveis de energia correspondentes são:

E_{n}=\hbar \omega \left(n+{1 \over 2}\right).

Isso ilustra novamente a quantização da energia de estados ligados.

terça-feira, 25 de dezembro de 2018

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

= entropia reversível

\left[-{\frac {\hbar ^{2}\nabla ^{2}}{2m}}+V\left(\mathbf {r} \right)\right]\psi \left(\mathbf {r} \right)=E\psi \left(\mathbf {r} \right)

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

x
decadimensional
x

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+{\hat {V}}(q)\right)\psi =i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}

, +

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

x
decadimensional
x

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

{\sqrt {(-i\mathbf {\nabla } )^{2}+m^{2}}}\psi =i{\frac {\partial }{\partial t}}\psi

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

x
decadimensional
x

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}={\frac {\hbar c}{i}}\left(\alpha _{0}mc\psi +\alpha _{1}{\frac {\partial \psi }{\partial x^{1}}}+\alpha _{2}{\frac {\partial \psi }{\partial x^{2}}}+\alpha _{3}{\frac {\partial \psi }{\partial x^{3}}}\right)

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

x
decadimensional
x

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

Advento da teoria clássica dos campos[editar | editar código-fonte]

James Clerk Maxwell

Pode-se considerar que a noção de campo surgiu inicialmente como uma construção matemática na descrição da gravitação newtoniana. No século XIX, tal formalismo logo foi estendido tanto para fenômenos elétricos quanto magnéticos por físicos como Ampère, Ohm e Faraday.

Devido aos trabalhos de Maxwell, o conceito de campo passa a ocupar o papel de maior importância na descrição fenomenológica da realidade. Maxwell mostrou, através de um conjunto de equações que recebem seu nome, que os fenômenos magnéticos e elétricos estão intrinsecamente associados e que devem ser descritos por uma única entidade: o campo eletromagnético ^[4].

Conceitualmente, Maxwell mostrou a relação entre campos elétricos e magnéticos, bem como o reconhecimento de que a luz (óptica) é uma manifestação particular deste campo eletromagnético. Dentro dessa perspectiva histórica, a unificação dos fenômenos eletromagnéticos realizado por Maxwell foi a segunda grande unificação, a primeira sendo a unificação da dinâmica celeste e terrestre realizada por Isaac Newton ainda no século XVII ^[5].

Mecânica, Eletromagnetismo e Relatividade[editar | editar código-fonte]

O eletromagnetismo foi a "raison d’être" do surgimento da relatividade. Com a inadequação das transformações de Galileu quando aplicadas à equação de onda tridimensional, surgiu um dilema: ou se preservava a mecânica clássica e abandonava-se o nascente eletromagnetismo, ou se preservava este e abandonava-se quase três séculos de previsões solidamente confirmadas pela experimentação.

O caminho foi achado, surpreendemente, numa espécie de conciliação entre as duas alternativas.

Inicialmente, Woldemar Voigt derivou em 1887 um conjunto de relações, baseado apenas na equação de onda ordinária, devida a Jean D'Alembert. Essas relações eram transformações espaciais e temporais que deixavam invariante a forma desta equação.

Estas relações são as que se conhecem como transformações de Lorentz-Fitzgerald, cientistas que redescobriram estas transformações mais tarde. Em particular, Lorentz o fez num contexto diferente, na tentativa de se reconciliar as teorias do éter com os resultados de experiências físicas, tais como a de Michelson-Morley. Einstein então entra em cena, com seu trabalho seminal de 1905, "Sobre a Eletrodinâmica dos Corpos em Movimento", onde introduz a relatividade, interpretando corretamente as transformações de Lorentz-Fitzgerald como alterações do espaço e do tempo em função da velocidade relativa entre os referenciais.

Termodinâmica e mecânica quântica[editar | editar código-fonte]

Max Planck em 1901.

A mecânica quântica surgiu da incapacidade conjunta da termodinâmica e do eletromagnetismoclássicos de prever a correta distribuição de energias em função da frequência no problema da radiação de corpo negro.

A tentativa de derivação feita por Lord Rayleigh e por James Jeans postulava que cada onda eletromagnética estava em equilíbrio com as paredes do forno. Isso se traduz num teorema que mantém sua validade mesmo na mecânica quântica:

Numa cavidade fechada em equilíbrio térmico com o campo eletromagnético confinado, o campo é equivalente a um conjunto enumeravelmente infinito de osciladores harmônicos, e a sua energia é igual à soma das energias desses osciladores. Cada frequência corresponde aos osciladores tomados dois a dois.

Max Planck obteve a forma correta da distribuição porque postulou a quantização da energia dos osciladores harmônicos que comporiam as paredes da cavidade que confina a radiação. Essa hipótese teve por efeito introduzir um limite máximo de freqüência acima do qual há um corte (cutoff) nas contribuições dos entes (ondas eletromagnéticas) que estão em equilíbrio.

Einstein, para explicar o efeito fotoelétrico, ampliou o conceito da quantização para a energia radiante, postulando a existência do fóton (o que "implicitamente" quer dizer que as equações de Maxwell não tem validade ilimitada, porque a existência do fóton implica não-linearidades).

A antiga teoria quântica cedeu lugar à mecânica quântica moderna quando Schrödinger desenvolveu a famosa equação que leva o seu nome. Entretanto, a primeira versão que ele desenvolveu foi a equação que hoje é conhecida como equação de Klein-Gordon, que é uma equação relativista, mas que não descrevia bem o átomo de hidrogênio, por razões que só mais tarde puderam ser entendidas. Assim, ele abandonou a primeira tentativa, chegando à sua equação (equação de Schrödinger):

\left[-{\frac {\hbar ^{2}\nabla ^{2}}{2m}}+V\left(\mathbf {r} ,t\right)\right]\Psi \left(\mathbf {r} ,t\right)=i\hbar {\frac {\partial \Psi \left(\mathbf {r} ,t\right)}{\partial t}}

A equação de Schrödinger acima colocada é a equação "dependente do tempo", pois o tempo aparece explicitamente. Neste caso, as soluções

\Psi

são funções das coordenadas espaciais e do tempo.

Quando o potencial

\mathbf {V}

não depende do tempo, ou seja, quando o campo de força ao qual a partícula está submetida é conservativo, é possível separar as variáveis

\mathbf {r}

\mathbf {t}

A equação que a parte espacial da função de onda

\Psi

obedece é:

\left[-{\frac {\hbar ^{2}\nabla ^{2}}{2m}}+V\left(\mathbf {r} \right)\right]\psi \left(\mathbf {r} \right)=E\psi \left(\mathbf {r} \right)

conhecida como equação de Schrödinger "independente do tempo". Esta é uma equação de autovalores, ou seja, através dela se obtêm simultaneamente autofunções (no caso as funções de onda

\psi

) e autovalores (no caso, o conjunto das energias estacionárias

E

Formulação matemática[editar | editar código-fonte]

Mecânica clássica e mecânica quântica[editar | editar código-fonte]

A dinâmica de uma partícula pontual de massa

m

em um regime não-relativístico, ou seja, em velocidades muito menores que a velocidade da luz, pode ser determinada através da função lagrangiana ^[6]^[7]

L={\frac {1}{2}}m({\dot {q}}^{i})^{2}-V(q)

em que

(q^{i},{\dot {q}}^{i})

(que são respectivamente coordenadas generalizadas para a posição e a velocidade da partícula) determinam o espaço de fase do sistema e

V(q)

é o potencial em que a partícula se move. Minimizando o funcional ação

S=\int dtL(q,{\dot {q}})

encontra-se a equação de movimento para esse sistema,

m{\frac {d^{2}q^{i}}{dt^{2}}}=-{\frac {\partial V(q)}{\partial q^{i}}}

que é a equação de Newton, desde que

\mathbf {F} =-\nabla V(q)

Existe outra formulação equivalente da mecânica clássica, conhecida como formulação hamiltoniana e que pode ser diretamente relacionada a formulação lagrangiana acima. Para se fazer contato entre as duas formulações, define-se o momento

p^{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}^{i}}}

de maneira que a função hamiltoniana é dada por

H(q,p)=p^{i}{\dot {q}}^{i}-L(q^{i},{\dot {q}}^{i})

que para a escolha da lagrangiana acima, tem-se

H(q,p)={\frac {(p^{i})^{2}}{2m}}+V(q)

Assim como no caso da função lagrangiana, a hamiltoniana descreve toda a dinâmica de um sistema clássico, portanto, considerando uma variação de

H(q^{i},p^{i})

tem-se um par de equações diferenciais de primeira ordem conhecidas como equações de Hamilton

{\dot {q}}^{i}={\frac {\partial H}{\partial p^{i}}},\quad {\dot {p}}^{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q^{i}}}

e que equivale a equação de Newton, que é de segunda ordem. No formalismo hamiltoniano, usando a regra da cadeia, pode-se escrever qualquer variação temporal de uma função

F=F(t;q(t);{\dot {q}}(t))

, em termos das equações de Hamilton acima, de modo que,

{\begin{aligned}{\dot {F}}&={\frac {\partial F}{\partial t}}+{\frac {\partial F}{\partial q^{i}}}{\dot {q^{i}}}+{\frac {\partial F}{\partial p^{i}}}{\dot {p^{i}}}\\&={\frac {\partial F}{\partial t}}+{\frac {\partial F}{\partial q^{i}}}{\frac {\partial H}{\partial p^{i}}}-{\frac {\partial F}{\partial p^{i}}}{\frac {\partial H}{\partial q^{i}}}\\&={\frac {\partial F}{\partial t}}+\{H,F\},\end{aligned}}

onde o parêntese de Poisson é definido como

\{A,B\}={\frac {\partial A}{\partial p^{i}}}{\frac {\partial B}{\partial q^{i}}}-{\frac {\partial A}{\partial q^{i}}}{\frac {\partial B}{\partial p^{i}}}

Existem diversas maneiras de realizar a quantização de um sistema clássico, tais como quantização por integrais funcionais e quantização canônica. Esse último método em particular, consiste na substituição do parêntese de Poisson por comutadores^[8]

\{A,B\}\to {\frac {i}{\hbar }}[{\hat {A}},{\hat {B}}]

onde

{\hat {A}},{\hat {B}}

, são operadores num espaço de Hilbert. Com essas substituições, o parêntese de Poisson entre duas coordenadas generalizadas torna-se

[{\hat {p}}^{i},{\hat {q}}^{j}]=-i\hbar \delta ^{ij}

Um aspecto importante a ser observado é que os operadores

{\hat {p}}^{i}

{\hat {E}}

podem ser representados como os operadores diferencias

{\hat {p}}^{i}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial q^{i}}},\quad ,{\hat {E}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}

de maneira que a função hamiltoniana, torna-se um operador no espaço de Hilbert, chamado operador hamiltoniano que atua em uma função

\psi (q,t)

\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+{\hat {V}}(q)\right)\psi =i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}

que é a equação de Schrödinger.

Teoria Clássica de Campos[editar | editar código-fonte]

A formulação lagrangiana e a hamiltoniana da mecânica clássica são refinamentos da mecânica newtoniana e permite o tratamento de sistemas com um número finito de graus de liberdade. Considerando um sistema mecânico unidimensional com

N

graus de liberdade, que consiste de

N

partículas pontuais de massa

m

, separadas por uma distância

\epsilon

e conectadas entre si por uma mola de constante elástica

\kappa

. A lagrangiana para esse sistema é:

L=\sum _{i=1}^{N}\left[{\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}-{\frac {\kappa }{2}}(x_{i}-x_{i+1})^{2}\right]

Esse sistema pode ser estendido facilmente para o limite em que

N\to \infty

L=\epsilon N\to \infty

. No entanto, se o comprimento total do sistema estiver fixo, tem-se o limite contínuo

\epsilon \to 0

, de modo que a lagrangiana terá a forma

L=\int dx{\frac {1}{2}}\left[\mu {\dot {\phi (t,x)}}^{2}-\nu \left({\frac {d\phi (t,x)}{dx}}\right)^{2}\right]

onde

\phi (t,x)

representa o deslocamento da partícula relativa a posição

x

no instante de tempo

t

. Também, define-se as quantidades

\mu =\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {m}{\epsilon }}

\nu =\lim _{\epsilon \to 0}\kappa \epsilon

Generalizando essa discussão prévia para um sistema relativístico, tem-se uma lagrangiana que será uma função do campo

\phi(x)

, em que

x=x^{\mu }

e das derivadas

\partial _{\mu }\phi (x)

, dessa maneira, o funcional ação pode ser escrito como

S=\int dtL(\phi ,\partial _{\mu }\phi )

Finalmente, a lagrangiana pode ser escrita como

L(\phi ,\partial _{\mu }\phi )=\int d^{3}x{\mathcal {L}}(\phi ,\partial _{\mu }\phi )

onde

{\mathcal {L}}(\phi ,\partial _{\mu }\phi )

, é conhecida como densidade lagrangiana ^[9]. A equação de Euler-Lagrange é:

\partial _{\mu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}=0

Primeiras unificações. Equações relativísticas[editar | editar código-fonte]

Esta seção não cita fontes confiáveis e independentes, o que compromete sua credibilidade (desde fevereiro de 2018). Por favor, adicione referências e insira-as corretamente no texto ou no rodapé. Conteúdo sem fontes poderá ser removido.
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Equação de Klein-Gordon[editar | editar código-fonte]

Como foi dito acima, quando Schrödinger primeiro procurou uma equação que regesse os sistemas quânticos, pautou sua busca admitindo uma aproximação relativista, encontrando a depois redescoberta equação de Klein-Gordon:

\left[\square +\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\right]\psi =0

onde

\square \equiv {\frac {\partial }{\partial x_{\mu }}}{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}

A equação de Klein-Gordon, às vezes chamada de equação de Klein-Fock-Gordon (ou ainda Klein-Gordon-Fock) pode ser deduzida de algumas maneiras diferentes.

Usando-se a definição relativística de energia

E^{2}=\left.p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}\right.

chega-se à equação:

{\sqrt {(-i\mathbf {\nabla } )^{2}+m^{2}}}\psi =i{\frac {\partial }{\partial t}}\psi

Essa expressão, por conter operadores diferenciais sob o radical, além de apresentar dificuldades computacionais, também apresenta dificuldades conceituais, já que se torna uma teoria não-local (pelo fato de a raiz poder ser expressa como uma série infinita). Por ser uma equação de segunda ordem não permite que fique bem definida a questão da normalização da função de onda.

Fock deduziu-a através da generalização da equação de Schrödinger para campos magnéticos (onde as forças dependem da velocidade). Fock e Klein usaram ambos o método de Kaluza-Klein para deduzi-la. O motivo, só mais tarde entendido, da inadequação desta equação ao átomo de hidrogênio é que ela se aplica bem somente a partículas sem carga e de spin nulo.

Equação de Dirac[editar | editar código-fonte]

Em 1928 Paul Dirac obteve uma equação relativística baseada em dois princípios básicos

A equação deveria ser linear na derivada temporal;
A equação deveria ser relativisticamente covariante.

A equação obtida por ele tinha a seguinte forma:

i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}={\frac {\hbar c}{i}}\left(\alpha _{0}mc\psi +\alpha _{1}{\frac {\partial \psi }{\partial x^{1}}}+\alpha _{2}{\frac {\partial \psi }{\partial x^{2}}}+\alpha _{3}{\frac {\partial \psi }{\partial x^{3}}}\right)

onde

\alpha _{0}

\alpha _{1}

\alpha _{2}

\alpha _{3}

não são números reais ou complexos, mas sim matrizes quadradas com N² componentes. Semelhantemente, as funções

\psi

são na verdade matrizes coluna da forma

\psi ={\begin{bmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\\\vdots \\\psi _{N}\end{bmatrix}}

e as matrizes

\alpha _{0}

\alpha _{1}

\alpha _{2}

\alpha _{3}

devem ser hermitianas.

A equação de Dirac, diferentemente da equação de Klein-Gordon, é uma equação que dá bons resultados para partículas de spin ½. Aliás, um dos sucessos é que esta equação incorpora o spin de forma natural, o que não ocorre com a equação de Schrondinger, onde o spin é admitido posteriormente como uma hipótese ad hoc. Não obstante, isso levou certos autores a afirmarem que o spin é um grau de liberdade relativístico, o que é contestado. Outro sucesso da equação de Dirac foi prever a existencia do pósitron, já que a equação previa valores negativos de energia, o que foi inicialmente interpretado, à luz da [[teoria dos buracos], como indicação de elétrons com energias negativas. Essa teoria afirmava que os pósitrons seriam vacâncias produzidas pela promoção desses elétrons para estados com energias positivas. O vácuo é então visto como um mar de elétrons onde eles estariam compactamente colocados. Hoje, entretanto, essa teoria cedeu lugar à questão de criação e aniquilação de partículas num contexto mais geral da quantização canônica dos campos.

Desenvolvimento da teoria quântica dos campos[editar | editar código-fonte]

A origem da teoria quântica dos campos é marcada pelos estudos de Max Born e Pascual Jordan em 1925 sobre o problema da computação da potência irradiada de um átomo em uma transição energética.

Em 1926, Born, Jordan e Werner Heisenberg formularam a teoria quântica do campo eletromagnético desprezando tanto a polarizaçãocomo a presença de fontes, levando ao que se chama hoje de uma teoria do campo livre. Para tanto, usaram o procedimento da quantização canônica.

Três razões principais motivaram o desenvolvimento da teoria quântica dos campos:

A necessidade da uma teoria que lidasse com a variação do número de partículas;
A necessidade de conciliação entre as duas teorias: mecânica quântica e a relatividade;
A necessidade de lidar com estatísticas de sistemas multipartículas.

Quantização canônica dos campos[editar | editar código-fonte]

Um campo, no esquema conceitual da teoria dos campos, é uma entidade com infinitos graus de liberdade.

O estado de mais baixa energia, chamado de vácuo, corresponde à ausência de partículas.

Estas, entretanto, podem ser criadas ou destruídas através de dois operadores:

$\mathbf {a} _{k}^{+}$ : operador criação
$\mathbf {a} _{k}^{-}$ : operador aniquilação

que agem sobre a função de onda do campo, respectivamente simbolizando a criação e a aniquilação de partículas dotadas de momento

\mathbf {k}

, possibilidade exigida pela relatividade.

Os operadores, agindo sobre os estados de um tipo específico de espaço de Hilbert, chamado espaço de Fock, criam e destroem as partículas. Entretanto, uma restrição é:

\mathbf {a} _{k}^{-}\left|0\right\rangle =0

o que quer dizer que não pode haver aniquilação sobre o estado básico, já que nesse caso não há partículas a serem aniquiladas.

matriz categorial Graceli.

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

Sistema decadimensional Graceli.

1]Espaço cósmico.

2]Tempo cósmico e quântico.

3]Estruturas.

4]Energias.

5]Fenômenos.

6]Potenciais.

7]Transições de fases de estados físicos [amorfos e cristalinos] e estados de energias e fenômenos de Graceli.

9] especificidade térmica, de outras energias, e fenômenos das estruturas, e transições de fases.

10] especificidade de tempo de ações em processos físicos e quântico.

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Matriz categorial de Graceli.

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domingo, 30 de dezembro de 2018

\ \Delta U=Q-W

{\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

x
decadimensional
x

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\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

{\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

x
decadimensional
x

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Ta l Rl

W=p(V_{2}-V_{1})

{\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

x
decadimensional
x

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Ta l Rl

~C_{P}={\frac {i+2}{2}}R

{\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

x
decadimensional
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Ta l Rl

~Q=mc\Delta T={\frac {m}{\mu }}C\Delta T.

{\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

x
decadimensional
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Ta l Rl

dU=TdS-PdV+\sum _{j}\mu _{j}dN_{j}\,.

{\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

x
decadimensional
x

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Ta l Rl

dG=-SdT+VdP+\sum _{j}\mu _{j}dN_{j}\,;

{\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }

dF=-SdT-PdV+\sum _{j}\mu _{j}dN_{j}\,.

{\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }

História

A eletrodinâmica foi a evolução natural das teorias da antigamente denominada segunda quantização, isto é, quantização dos campos, ao ramo da eletrodinâmica.

Desenvolvimento formal

A eletrodinâmica quântica é uma teoria abeliana de calibre, dotada de um grupo de calibre U(1).

O campo de calibre que media a interação entre campos de spin 1/2, é o campo eletromagnético, que se apresenta sob a forma de fótons.

A descrição da interação se dá através da lagrangiana para a interação entre elétrons e pósitrons, que é dada por:

{\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }

onde

\ \psi

e sua adjunta de Dirac

{\bar {\psi }}

são os campos representando partículas eletricamente carregadas, especificamente, os campos do elétron e pósitron representados como espinores de Dirac.

{\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

x
decadimensional
x

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\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

= entropia reversível

matriz categorial Graceli.

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

Sistema decadimensional Graceli.

1]Espaço cósmico.

2]Tempo cósmico e quântico.

3]Estruturas.

4]Energias.

5]Fenômenos.

6]Potenciais., e potenciais de campos, de energias, de transições de estruturas e estados físicos, quãntico, e estados de fenômenos e estados de transições, transformações e decaimentos.

7]Transições de fases de estados físicos [amorfos e cristalinos] e estados de energias e fenômenos de Graceli.

9] especificidade térmica, de outras energias, e fenômenos das estruturas, e transições de fases.

10] especificidade de tempo de ações em processos físicos e quântico.

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

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Matriz categorial de Graceli.

T l T l E l Fl dfG l

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Princípio primeiro: conservando a energia[editar | editar código-fonte]

Observação: a compreensão do que se segue exige o conhecimento das definições de: energia, energia interna, energia térmica, temperatura (absoluta), energia potencial, pressão, volume, calor e trabalho. Solicita-se a leitura dos artigos específicos caso estes conceitos não se mostrem familiares.

De acordo com o princípio da Conservação da Energia, a energia não pode ser criada nem destruída, mas somente transformada de uma espécie em outra. O primeiro princípio da termodinâmica estabelece uma equivalência entre o trabalho e o calor trocados entre um sistema e seu meio exterior no que se refira à variação da energia interna do sistema.

Considere um sistema e sua vizinhança, em uma situação tal que uma certa quantidade de calor Q tenha atravessado a fronteira comum aos dois (devido à diferença de temperaturas entre ambos). Considere também que a fronteira comum entre os sistemas se mova neste processo, implicando em energia trocada na forma de trabalho entre ambos. Neste caso a variação na energia interna do sistema em foco é expressa por:

\ \Delta U=Q-W

^{[Ref. 11]}^{[Ref. 3]}

A expressão acima representa analiticamente o primeiro princípio da termodinâmica, cujo enunciado pode ser:

" a variação da energia interna de um sistema é igual à diferença entre o calor e o trabalho trocados pelo sistema com o meio exterior."

Considerando-se para fins ilustrativos um sistema composto por um gás com apenas movimentos translacionais (isso é, monoatômico) e sem interação potencial entre partículas, a variação de energia interna pode ser determinada por

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

,^{[Ref. 11]}^{[Ref. 3]}

onde n é o número de mols do gás, R é a constante dos gases,

T_{f}

a temperatura final e

T_{i}

a temperatura inicial do gás.

Repare que para um gás ideal a variação em sua energia interna está associada apenas à variação em sua temperatura. Transformações isotérmicas envolvendo um gás ideal implicam portanto que o trabalho W realizado pelo sistema sobre a vizinhança iguala-se em módulo ao calor que entra no sistema oriundo da vizinhança.

Para a aplicação do primeiro princípio de termodinâmica devem-se respeitar as seguintes convenções^{[Ref. 11]}^{[Ref. 3]}:

Q > 0: calor é recebido pelo sistema oriundo de sua vizinhança.
Q < 0: calor cedido pelo sistema à vizinhança.
W > 0: volume do sistema aumenta; o sistema realiza trabalho sobre a vizinhança (cujo volume diminui).
W < 0: volume do sistema diminui; o sistema recebe energia na forma de trabalho oriunda de sua vizinhança (cujo volume aumenta).
$\Delta U$ > 0: a energia interna do sistema aumenta.
$\Delta U$ < 0: a energia interna do sistema diminui.

É muito comum associar-se de forma errônea o aumento da energia interna em um sistema a um aumento em sua temperatura. Embora esta relação mostre-se verdadeira para a maioria dos sistemas, ao rigor da análise esta associação não procede. Alguns exemplos bem simples, como a combustão de vapor de gasolina e oxigênio em um cilindro de automóvel - que por ser muito rápida, pode ser considerada um processo adiabático - ou uma simples mistura de sal e gelo, mostram que não há uma relação estrita entre energia interna e temperatura, mas sim entre energia térmica e temperatura.

A transformação que leva o sistema termodinâmico do estado A até o estado B é isobárica.

Na combustão do vapor de gasolina e oxigênio formam-se vapor de água e gás carbônico que, ao fim, estão em temperatura muito maior do que a temperatura dos reagentes. Contudo a energia interna do sistema não varia. O que ocorre é a transformação de parte da energia potencial - uma das parcelas que integram a energia interna - do sistema em energia térmica, a outra parcela que a integra. Como o aumento na energia térmica é inteiramente oriundo da diminuição da energia potencial (energia química) do sistema, a energia interna permanece a mesma, e não há variação na energia interna do sistema, mesmo observando-se um enorme aumento em sua temperatura.

Caso contrário é observado em um sistema composto por gelo e sal mantidos separados. Removendo-se a fronteira que os separa, a temperatura da mistura salina que se forma cai drasticamente, contudo a energia interna do sistema, assumido envolto por uma fronteira completamente restritiva (um sistema isolado), permanece constante. Parte da energia térmica é utilizada para romper-se as ligações iônicas associada à forma cristalina do sal - liquefazendo a mistura - e transformando-se por tal em energia potencial. O decréscimo na energia térmica é contudo compensado pelo acréscimo na energia potencial, de forma que a energia interna - conforme exigido pela fronteira restritiva - não varia, embora a temperatura caia substancialmente.

Podemos dizer que a energia interna do sistema é uma função de estado pois ela depende unicamente dos valores assumidos pelas variáveis de estado do sistema, e não da forma como tais variáveis assumiram tais valores. Em outras palavras, a energia interna de uma xícara de café quente com mesma composição química, mesma concentração, mesma massa, quando submetida à mesma pressão, volume e temperatura, será sempre a mesma, independente de como se fez o café, ou se este foi feito agora, ou requentado.

Repare que a energia interna é função apenas da temperatura somente para casos especiais, como o caso do gás ideal. Para casos genéricos não pode-se assumir tal conjectura como verdadeira. A energia interna pode depender da pressão, do volume, e de qualquer outra grandeza termodinâmica de forma explicita.

Quanto ao trabalho realizado pelo sistema sobre sua vizinhança, este pode ser facilmente determinado em transformações isobáricas - aquelas nas quais a pressão permanece constante - por:

W=p(V_{2}-V_{1})

^{[Ref. 11]}^{[Ref. 3]}

onde V₂ e V₁ representam os volumes final e inicial do sistema, respectivamente. Repare a convenção a origem da convenção de sinais: quando o gás realiza trabalho sobre o meio - expandindo-se contra a pressão imposta pelo mesmo e gastando parte de sua energia interna para tal - o sinal do trabalho é positivo (volume aumenta), o qual, substituído na expressão matemática do primeiro princípio, implica um decréscimo da energia interna do sistema em virtude do sinal negativo presente nesta última expressão.

Em casos mais complexos, o trabalho pode ser determinado através de um diagrama de pressão x volume para a transformação sofrida. Este corresponde à área sob a região determinada pelos estados inicial, final, e pela curva associada (vide figuras abaixo).

Princípio segundo: uma passagem só de ida[editar | editar código-fonte]

A termodinâmica permite determinar a direção na qual vários processos físicos e químicos irão ocorrer espontaneamente, e as condições para que possam ser revertidos (reversibilidade). Permite também determinar quais processos podem ocorrer, e quais não podem (irreversibilidade). Também permite determinar as inter-relações entre as diversas propriedades de uma substância, a exemplo calor específico, coeficiente de dilatação volumétrica, compressibilidade, e demais. Contudo ela não encerra em sua descrição macroscópica dados relativos aos modelos da microestrutura da substância, e não é capaz de fornecer detalhes dela partindo-se apenas das grandezas macroscópicas. Contudo, uma vez que a estrutura microscópica do sistema seja previamente conhecida, através do método da termodinâmica clássica e estatística, as propriedades e o comportamento termodinâmicos do sistema podem ser em princípio facilmente determinados.^{[Ref. 3]}

Em sistemas adiabáticos determinados processos ocorrem em sentido único, sendo impossível, sem violar-se a restrição adiabática imposta pela barreira, regressar-se ao estado original. Associado à irreversibilidade de tais processos tem-se a segunda lei da termodinâmica: em processos adiabáticos, a entropia do sistema permanece constante ou aumenta, contudo nunca diminui. Se um processo qualquer - geralmente processos bruscos, como a expansão livre - implicar em aumento da entropia do sistema, o estado inicial - de menor entropia - torna-se inacessível ao sistema sem violação da restrição imposta. Após uma expansão livre não se consegue mais retornar às mesmas condições de pressão, volume e temperatura iniciais sem a violação da fronteira adiabática do sistema.^{[Ref. 3]}

A 2ª Lei da termodinâmica estabelece portanto uma seta para o tempo: estabelece em essência a possibilidade de se definir com precisão uma ordem cronológica para uma série de eventos relacionados. Estabelece que energia cinética macroscopicamente mensurável pode sempre reduzir-se, mediante trabalho, a calor, e desta forma acabar fazendo parte das entranhas de um sistema termodinâmico - ou seja, da energia interna deste - contudo o processo inverso jamais ocorre com rendimento de 100%. Calor oriundo da energia interna de um sistema não pode ser totalmente convertido em trabalho, e por tal jamais é completamente convertido em energia cinética macroscopicamente mensurável. Decorre desta certamente considerações estimulantes tanto de ordem filosófica como de ordem científica ligadas às implicações da mesma, a exemplo considerações sobre a possível morte térmica do universo.^{[Ref. 11]}

Transformações termodinâmicas particulares[editar | editar código-fonte]

Transformação isotérmica^{[Ref. 11]}^{[Ref. 12]}: transformação realizada de forma que a temperatura do sistema permaneça sempre constante.

Para gases ideais, implica que a quantidade de calor que o gás recebe seja exatamente igual ao trabalho por ele realizado.

Transformação isocórica ou Transformação isovolumétrica^{[Ref. 11]}^{[Ref. 12]}: como o volume do sistema se mantém constante, não há realização de trabalho.

O calor trocado com o meio externo corresponde à variação da energia interna do sistema.

A curva hiperbólica que liga os pontos A e Brepresenta uma transformação isotérmica em um gás perfeito.

Transformação isobárica^{[Ref. 11]}^{[Ref. 12]}: Trata-se de uma transformação onde a pressão do sistema permanece sempre a mesma.

Parte do calor que o sistema troca com o meio externo está relacionado com o trabalho realizado e o restante com a variação da energia interna do sistema.

Transformação adiabática^{[Ref. 12]}: há uma fronteira restritiva quanto ao calor entre sistema e vizinhança. Não há calor, e a única forma de se fazer a energia interna variar é mediante a realização de trabalho.

Numa expansão adiabática, o sistema realiza trabalho sobre o meio às expensas da energia interna deste.

Durante a compressão adiabática, o meio realiza trabalho sobre o sistema e a energia interna aumenta.

Transformação cíclica^{[Ref. 11]}^{[Ref. 12]}

Denomina-se transformação cíclica ou ciclo de um sistema o conjunto de transformações sofridas pelo sistema de tal forma que seus estados final e inicial sejam iguais.

Como as variáveis de estado finais e iniciais são iguais, a energia interna do sistema não varia, bem como sua energia térmica - diretamente associada à temperatura. Há assim uma igualdade entre o calor e o trabalho trocados em cada ciclo.

Num diagrama p x V uma transformação cíclica é representada por uma curva fechada. A área interna do ciclo é numericamente igual ao trabalho total trocado com o meio exterior.

Quando o ciclo completo é percorrido no sentido horário, o sistema recebe calor e realiza trabalho (o trabalho W e o calor Q totais são ambos positivos); no sentido anti-horário o sistema cede calor e recebe trabalho (o trabalho W e o calor Q totais são ambos negativos),ou seja:

W_ciclo>0 e Q_ciclo >0 em ciclo horário, implicando em uma máquina térmica.

Q<0_ciclo ; W_ciclo<0 em ciclo anti-horário, implicando em um refrigerador térmico (como as geladeiras)

Em uma transformação cíclica existe equivalência entre o calor Q trocado pelo gás e o trabalho realizado. Repare contudo que estes valores não são sempre iguais ao longo do ciclo, o que equivale a dizer que a energia interna pode variar e geralmente varia ao longo do ciclo. Contudo o saldo final por ciclo implica uma variação da energia interna nula, e um trabalho total por ciclo igual ao calor envolvido por ciclo.

Leis da Termodinâmica[editar | editar código-fonte]

A termodinâmica é baseada em leis estabelecidas experimentalmente:

A Lei Zero da Termodinâmica^{[Ref. 3]}^{[Ref. 12]}determina que, quando dois sistemas em equilíbrio termodinâmico têm igualdade de temperatura com um terceiro sistema também em equilíbrio, eles têm igualdade de temperatura entre si. Esta lei é a base empíricapara a medição de temperatura. Ela também estabelece o que vem a ser um sistema em equilíbrio termodinâmico: dado tempo suficiente, um sistema isolado atingirá um estado final - o estado de equilíbrio termodinâmico - onde nenhuma transformação macroscópica será doravante observada, caracterizando-se este por uma homogeneidade das grandezas termodinâmicas ao longo de todo o sistema (temperatura, pressão, volumes parciais ... constantes).
A Primeira Lei da Termodinâmica^{[Ref. 3]}^{[Ref. 12]}fornece o aspecto quantitativo de processos de conversão de energia. É o princípio da conservação da energia e da conservação da massa, agora familiar, : "A energia do Universo, sistema mais vizinhança, é constante".
A Segunda Lei da Termodinâmica^{[Ref. 3]}^{[Ref. 12]}determina de forma quantitativa a viabilidade de processos em sistemas físicos no que se refere à possibilidade de troca de energia e à ocorrência ou não destes processos na natureza. Afirma que há processos que ocorrem numa certa direção mas não podem ocorrer na direção oposta. Foi enunciada por Clausius da seguinte maneira: "A entropia do Universo, [sistema mais vizinhança], tende a um máximo": somente processos que levem a um aumento, ou quando muito à manutenção, da entropia total do sistema mais vizinhança são observados na natureza. Em sistemas isolados, transformações que impliquem uma diminuição em sua entropia jamais ocorrerão.
A Terceira Lei da Termodinâmica^{[Ref. 3]}^{[Ref. 12]}estabelece um ponto de referência absoluto para a determinação da entropia, representado pelo estado derradeiro de ordem molecular máxima e mínima energia. Enunciada como "A entropia de uma substância cristalina pura na temperatura zero absoluto é zero".

Propriedades básicas[editar | editar código-fonte]

Símbolos

Nome	Dimensão/ Valor	Unidade
$~T$	Temperatura absoluta	K
$~p;P$ ^[35]	Pressão	Pa
$~V$	Volume	m³
$~W_{{cp}}$	Média de energia de uma molécula	J
$~W_{{Kcp}}$	média de energia cinética uma molécula	J
$~m$	Massa	kg
$~\mu ,M$ ^[36]	Massa molar	kg/mol
$~N_{A}$	Constante de Avogadro	6.0221415(10)×10²³ mol ^-1
$~k$	Constante de Boltzmann	1.3806505(24)×10⁻²³ J / K
$~R$	Constante do Gás	8.314472(15) J/(К·mol)	$~R=k\cdot N_{A}$
$~i$	Número de graus de liberdade da molécula	-
$~N_{j},\,j=1,...n$	Quantidade de substância $j$ -O componente $n$ -mistura componental	mol
$~N$	Vetor com coordenadas $N_{j},\,j=1,...n$	mol
$~\mu _{j},\,j=1,...n$	Potencial Químico $j$ -Componentes $n$ - mistura de Componentes	J/mol
$~U$	Energia interna	J
$~S$	Entropia	J/К
$~H=U+PV$	Entalpia	J
$~F=U-TS$ $~A=U-TS$ ^[37]	Condições isovolumétricas-isotérmicas do potencial de Helmholtz (energia livre)	J
$~G=H-TS$	potencial isobárico, isotérmico (energia livre de Gibbs, entalpia livre)	J
$~W;A$	Trabalho realizado pelo gás	J
$~Q$	Calor transferido para o gás	J
$~C_{P}$	Capacidade térmica molar a pressão constante	J/(К·моl)
$~C_{V}$	Capacidade térmica molar a um volume constante	J/(К·mol)
$~c$	Capacidade térmica específica	J/(К·kg)
$~\gamma$	Sistema adiabático	-	$~\gamma ={\frac {i+2}{i}}$

As fórmulas da termodinâmica do gás ideal[editar | editar código-fonte]

A Energia Interna do gás é igual à soma da energia de todas as moléculas,

~U=\sum W_{i}=N\cdot W_{{cp}}={\frac {m}{\mu }}N_{A}\cdot {\frac {i}{2}}kT={\frac {i}{2}}{\frac {m}{\mu }}RT={\frac {i}{2}}PV

Equação de estado do gás ideal ( equação de Mendeleyev-Klapeyrona )	$~PV={\frac {m}{\mu }}RT$
Mudança da energia interna do gás	$~\Delta U=Q-A$
Trabalho do Gás	$~A=\int P{\mathrm {d}}V$
Média de energia de uma molécula de gás	$~W_{{cp}}={\frac {i}{2}}kT$
Média de Energia cinética de uma molécula de gás:	$~W_{{Kcp}}={\frac {3}{2}}kT$
Energia interna do gás	$~U={\frac {i}{2}}PV$ $~U={\frac {i}{2}}{\frac {m}{\mu }}RT$

Capacidade térmica do Gás a volume constante:

~C_{V}={\frac {i}{2}}R

A quantidade de calor recebida por um corpo, é expressa através da sua massa, e a capacidade térmica conhecida através da fórmula:

~Q=mc\Delta T={\frac {m}{\mu }}C\Delta T.

A quantidade de calor recebida é igualmente a mudança de energia interna:

~Q=\Delta U={\frac {i}{2}}{\frac {m}{\mu }}R\Delta T.

Igualando as peças certas de ambas as equações, receberemos:

~{\frac {m}{\mu }}C_{V}\Delta T={\frac {i}{2}}{\frac {m}{\mu }}R\Delta T;

~C_{V}={\frac {i}{2}}R.

Capacidade térmica do gás a pressão constante

~C_{P}={\frac {i+2}{2}}R

A quantidade de calor recebida por um corpo, é expressa através da sua massa, e a capacidade térmica conhecida através da fórmula:

~Q=mc\Delta T={\frac {m}{\mu }}C\Delta T.

Como na quantidade do processo isobárico do calor recebido pelo gás é ,igualmente, a mudança de energia interna + o trabalho realizado pelo gás, vamos escrever:

~Q=\Delta U+\Delta A={\frac {i}{2}}{\frac {m}{\mu }}R\Delta T+P\Delta V={\frac {i}{2}}{\frac {m}{\mu }}R\Delta T+{\frac {m}{\mu }}R\Delta T={\frac {i+2}{2}}\cdot {\frac {m}{\mu }}R\Delta T.

Igualando as peças certas de ambas as equações, receberemos:

~{\frac {m}{\mu }}C_{P}\Delta T={\frac {i+2}{2}}\cdot {\frac {m}{\mu }}R\Delta T;

~C_{P}={\frac {i+2}{2}}R.

Expressão dos potenciais termodinâmicos[editar | editar código-fonte]

Todos os potenciais termodinâmicos, possuem conjuntos de variáveis e são utilizados para a análise dos processos sob condições correspondentes. Assim para processos isotérmicos (

T,V=const

) é conveniente usar

F(N,T,V)

, para a Transformação isobárica(

T,P=const

) —

G(N,T,P)

,e para os sistemas isolados: (

U,V=const

) —

S(N,U,V)

Potencial Termodinâmico $S(N,U,V)$ (entropia)[editar | editar código-fonte]

$N,\,U,\,V$ — variáveis independentes (fator que não é influenciado pelo valor de outros fatores)
$T=\left({\frac {\partial S}{\partial U}}\right)^{{-1}}$ ;
$P={\frac {\partial S}{\partial V}}\left({\frac {\partial S}{\partial U}}\right)^{{-1}}$ ;
$\mu _{j}=-{\frac {\partial S}{\partial N_{j}}}\left({\frac {\partial S}{\partial U}}\right)^{{-1}}$ ;
$H=U+V{\frac {\partial S}{\partial V}}\left({\frac {\partial S}{\partial U}}\right)^{{-1}}$ ;
$F=U-S\left({\frac {\partial S}{\partial U}}\right)^{{-1}}$ ;
$G=U+\left(S{\frac {\partial S}{\partial V}}-S\right)\left({\frac {\partial S}{\partial U}}\right)^{{-1}}$ .

Potencial Termodinâmico $F(N,T,V)$ (Energia livre de Helmholtz)[editar | editar código-fonte]

$N,\,T,\,V$ — variáveis independentes (fator que não é influenciado pelo valor de outros fatores)
$S=-{\frac {\partial F}{\partial T}}$ ;
$P=-{\frac {\partial F}{\partial V}}$ ;
$\mu _{j}={\frac {\partial F}{\partial N_{j}}}$ ;
$U=F-T{\frac {\partial F}{\partial T}}$ ;
$H=F-T{\frac {\partial F}{\partial T}}-V{\frac {\partial F}{\partial V}}$ ;
$G=F-V{\frac {\partial F}{\partial V}}$ .

Potencial Termodinâmico $U(N,S,V)$ (Energia interna)[editar | editar código-fonte]

$N,\,S,\,V$ — variáveis independentes (fator que não é influenciado pelo valor de outros fatores)
$T={\frac {\partial U}{\partial S}}$ ;
$P=-{\frac {\partial U}{\partial V}}$ ;
$\mu _{j}={\frac {\partial U}{\partial N_{j}}}$ ;
$H=U-V{\frac {\partial U}{\partial V}}$ ;
$F=U-S{\frac {\partial U}{\partial S}}$ ;
$G=U-V{\frac {\partial U}{\partial V}}-S{\frac {\partial U}{\partial S}}$ .

A equação fundamental de Gibbs[editar | editar código-fonte]

Uma expressão para a diferença de energia interna é chamada de equação fundamental de Gibbs ou simples equação de Gibbs :

dU=TdS-PdV+\sum _{j}\mu _{j}dN_{j}\,.

A importância dessa equação consiste em que ela representa a base sobre a qual todos os modernos aparelhos matemáticos de fenomenologia termodinâmica, tanto os conceitos de equilíbrio e não-equilíbrio, são baseados. A equação de Gibbs pode ser representada para uso de outros potenciais termodinâmicos equivalentes nas seguintes formulações:

dG=-SdT+VdP+\sum _{j}\mu _{j}dN_{j}\,;

dF=-SdT-PdV+\sum _{j}\mu _{j}dN_{j}\,.

matriz categorial Graceli.

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

Sistema decadimensional Graceli.

1]Espaço cósmico.

2]Tempo cósmico e quântico.

3]Estruturas.

4]Energias.

5]Fenômenos.

6]Potenciais., e potenciais de campos, de energias, de transições de estruturas e estados físicos, quãntico, e estados de fenômenos e estados de transições, transformações e decaimentos.

7]Transições de fases de estados físicos [amorfos e cristalinos] e estados de energias e fenômenos de Graceli.

9] especificidade térmica, de outras energias, e fenômenos das estruturas, e transições de fases.

10] especificidade de tempo de ações em processos físicos e quântico.

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Matriz categorial de Graceli.

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domingo, 13 de janeiro de 2019

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

DECADIMENSIONAL

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\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

DECADIMENSIONAL

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\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

DECADIMENSIONAL

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Paradoxo Termodinâmico e a Mecânica Estatística Quântica. .

Em 1902, o físico norte-americano Josiah Williard Gibbs (1839-1903) publicou o livro intitulado Elementary Principles in Statistical Mechanics (Yale University Press), no qual retomou o trabalho do físico austríaco Ludwig Edward Boltzmann (1844-1906) de 1877 (vide verbete nesta série), porém, em vez de tratar um gás como constituído de moléculas em constante colisão, como fizera Boltzmann, Gibbs partiu do espaço de fase T, ocupado pelo gás, e trabalhou com uma função de distribuição (r) de pontos nesse espaço. Num certo instante de tempo t, cada ponto no espaço de fase corresponde a uma cópia do sistema estudado, que está sujeito a determinadas condições macroscópicas. Esta é a idéia de ensemble, e corresponde ao W, número de configurações possíveis de um sistema, considerado por Boltzmann. Desse modo, Gibbs observou que se w_r indica o volume ocupado por n_r partículas, o volume total nesse espaço, que corresponde a uma particular distribuição das partículas constituintes desse gás, será dado por:

Examinando essa expressão, Gibbs percebeu que havia necessidade de discriminar entre gases consistindo de partículas idênticas. Assim, no livro referido acima, colocou a seguinte questão:Se duas fases diferem somente pelo fato de partículas similares haverem trocado de lugar umas com as outras, elas devem ser consideradas como indistinguíveis ou apenas em fases diferentes? Se as partículas são consideradas como indistinguíveis, então, de acordo com o espírito do método estatístico, as fases devem ser consideradas como idênticas. Essa pergunta ficou conhecida como o famoso Paradoxo Termodinâmico de Gibbs, conforme nos conta Cyril Domb no livro intitulado Twentieth Century Physics, Volume I [Laurie M. Brown, Abraham Pais and Sir Brian Pippard (Editores), Institute of Physics Publishing and American Institute of Physics Press, 1995], enunciado da seguinte maneira:
Sejam dois fluidos colocados em dois recipientes separados por uma barreira. Se os dois fluidos são idênticos e a barreira é removida, não haverá mudança na entropia; se não são idênticos haverá mudança na entropia.
A solução desse paradoxo, qual seja, como distinguir esses dois casos, só foi dada com a introdução da Mecânica Estatística Quântica. Com efeito, em 1924, os físicos, o indiano Satyendra Nath Bose (1894-1974) (Zeitschrift für Physik 26, p. 178) e o germano-norte-americano Albert Einstein (1879-1955; PNF, 1921) (Preussische Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Mathematisch-Physikalische Klasse, Sitzungsberichte, p. 261) mostraram que, para partículas indistinguíveis sem limite de número para ocupar qualquer nível de energia, a expressão acima proposta por Gibbs deve ser substituída por (com g_i substituindo w_i):

Por outro lado, em 1926, os físicos, o italiano Enrico Fermi (1901-1954; PNF, 1938) (Zeitschrift für Physik 26, p. 178) e o inglês Paul Maurice Adrien Dirac (1902-1984; PNF, 1933) (Proceedings of the Royal Society of London A112, p. 661), observaram que a expressão acima deveria ser modificada para tratar o caso de partículas indistinguíveis, em que duas delas não podem ocupar o mesmo nível de energia:

Desse modo, as partículas indistinguíveis são tratadas por esses dois tipos de Estatística e hoje elas são chamadas, respectivamente, de bósons e de férmions.

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

= entropia reversível

matriz categorial Graceli.

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Sistema decadimensional Graceli.

1]Espaço cósmico.

2]Tempo cósmico e quântico.

3]Estruturas.

4]Energias.

5]Fenômenos.

6]Potenciais., e potenciais de campos, de energias, de transições de estruturas e estados físicos, quãntico, e estados de fenômenos e estados de transições, transformações e decaimentos.

7]Transições de fases de estados físicos [amorfos e cristalinos] e estados de energias e fenômenos de Graceli.

9] especificidade térmica, de outras energias, e fenômenos das estruturas, e transições de fases.

10] especificidade de tempo de ações em processos físicos e quântico.

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terça-feira, 25 de dezembro de 2018

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

= entropia reversível

\left[-{\frac {\hbar ^{2}\nabla ^{2}}{2m}}+V\left(\mathbf {r} \right)\right]\psi \left(\mathbf {r} \right)=E\psi \left(\mathbf {r} \right)

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

x
decadimensional
x

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\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+{\hat {V}}(q)\right)\psi =i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}

, +

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

x
decadimensional
x

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{\sqrt {(-i\mathbf {\nabla } )^{2}+m^{2}}}\psi =i{\frac {\partial }{\partial t}}\psi

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

x
decadimensional
x

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i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}={\frac {\hbar c}{i}}\left(\alpha _{0}mc\psi +\alpha _{1}{\frac {\partial \psi }{\partial x^{1}}}+\alpha _{2}{\frac {\partial \psi }{\partial x^{2}}}+\alpha _{3}{\frac {\partial \psi }{\partial x^{3}}}\right)

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

x
decadimensional
x

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Advento da teoria clássica dos campos[editar | editar código-fonte]

James Clerk Maxwell

Mecânica, Eletromagnetismo e Relatividade[editar | editar código-fonte]

O caminho foi achado, surpreendemente, numa espécie de conciliação entre as duas alternativas.

Termodinâmica e mecânica quântica[editar | editar código-fonte]

Max Planck em 1901.

Numa cavidade fechada em equilíbrio térmico com o campo eletromagnético confinado, o campo é equivalente a um conjunto enumeravelmente infinito de osciladores harmônicos, e a sua energia é igual à soma das energias desses osciladores. Cada frequência corresponde aos osciladores tomados dois a dois.

\left[-{\frac {\hbar ^{2}\nabla ^{2}}{2m}}+V\left(\mathbf {r} ,t\right)\right]\Psi \left(\mathbf {r} ,t\right)=i\hbar {\frac {\partial \Psi \left(\mathbf {r} ,t\right)}{\partial t}}

A equação de Schrödinger acima colocada é a equação "dependente do tempo", pois o tempo aparece explicitamente. Neste caso, as soluções

\Psi

são funções das coordenadas espaciais e do tempo.

Quando o potencial

\mathbf {V}

não depende do tempo, ou seja, quando o campo de força ao qual a partícula está submetida é conservativo, é possível separar as variáveis

\mathbf {r}

\mathbf {t}

A equação que a parte espacial da função de onda

\Psi

obedece é:

\left[-{\frac {\hbar ^{2}\nabla ^{2}}{2m}}+V\left(\mathbf {r} \right)\right]\psi \left(\mathbf {r} \right)=E\psi \left(\mathbf {r} \right)

conhecida como equação de Schrödinger "independente do tempo". Esta é uma equação de autovalores, ou seja, através dela se obtêm simultaneamente autofunções (no caso as funções de onda

\psi

) e autovalores (no caso, o conjunto das energias estacionárias

E

Formulação matemática[editar | editar código-fonte]

Mecânica clássica e mecânica quântica[editar | editar código-fonte]

A dinâmica de uma partícula pontual de massa

m

em um regime não-relativístico, ou seja, em velocidades muito menores que a velocidade da luz, pode ser determinada através da função lagrangiana ^[6]^[7]

L={\frac {1}{2}}m({\dot {q}}^{i})^{2}-V(q)

em que

(q^{i},{\dot {q}}^{i})

(que são respectivamente coordenadas generalizadas para a posição e a velocidade da partícula) determinam o espaço de fase do sistema e

V(q)

é o potencial em que a partícula se move. Minimizando o funcional ação

S=\int dtL(q,{\dot {q}})

encontra-se a equação de movimento para esse sistema,

m{\frac {d^{2}q^{i}}{dt^{2}}}=-{\frac {\partial V(q)}{\partial q^{i}}}

que é a equação de Newton, desde que

\mathbf {F} =-\nabla V(q)

p^{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}^{i}}}

de maneira que a função hamiltoniana é dada por

H(q,p)=p^{i}{\dot {q}}^{i}-L(q^{i},{\dot {q}}^{i})

que para a escolha da lagrangiana acima, tem-se

H(q,p)={\frac {(p^{i})^{2}}{2m}}+V(q)

Assim como no caso da função lagrangiana, a hamiltoniana descreve toda a dinâmica de um sistema clássico, portanto, considerando uma variação de

H(q^{i},p^{i})

tem-se um par de equações diferenciais de primeira ordem conhecidas como equações de Hamilton

{\dot {q}}^{i}={\frac {\partial H}{\partial p^{i}}},\quad {\dot {p}}^{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q^{i}}}

e que equivale a equação de Newton, que é de segunda ordem. No formalismo hamiltoniano, usando a regra da cadeia, pode-se escrever qualquer variação temporal de uma função

F=F(t;q(t);{\dot {q}}(t))

, em termos das equações de Hamilton acima, de modo que,

{\begin{aligned}{\dot {F}}&={\frac {\partial F}{\partial t}}+{\frac {\partial F}{\partial q^{i}}}{\dot {q^{i}}}+{\frac {\partial F}{\partial p^{i}}}{\dot {p^{i}}}\\&={\frac {\partial F}{\partial t}}+{\frac {\partial F}{\partial q^{i}}}{\frac {\partial H}{\partial p^{i}}}-{\frac {\partial F}{\partial p^{i}}}{\frac {\partial H}{\partial q^{i}}}\\&={\frac {\partial F}{\partial t}}+\{H,F\},\end{aligned}}

onde o parêntese de Poisson é definido como

\{A,B\}={\frac {\partial A}{\partial p^{i}}}{\frac {\partial B}{\partial q^{i}}}-{\frac {\partial A}{\partial q^{i}}}{\frac {\partial B}{\partial p^{i}}}

\{A,B\}\to {\frac {i}{\hbar }}[{\hat {A}},{\hat {B}}]

onde

{\hat {A}},{\hat {B}}

, são operadores num espaço de Hilbert. Com essas substituições, o parêntese de Poisson entre duas coordenadas generalizadas torna-se

[{\hat {p}}^{i},{\hat {q}}^{j}]=-i\hbar \delta ^{ij}

Um aspecto importante a ser observado é que os operadores

{\hat {p}}^{i}

{\hat {E}}

podem ser representados como os operadores diferencias

{\hat {p}}^{i}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial q^{i}}},\quad ,{\hat {E}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}

de maneira que a função hamiltoniana, torna-se um operador no espaço de Hilbert, chamado operador hamiltoniano que atua em uma função

\psi (q,t)

\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+{\hat {V}}(q)\right)\psi =i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}

que é a equação de Schrödinger.

Teoria Clássica de Campos[editar | editar código-fonte]

N

graus de liberdade, que consiste de

N

partículas pontuais de massa

m

, separadas por uma distância

\epsilon

e conectadas entre si por uma mola de constante elástica

\kappa

. A lagrangiana para esse sistema é:

L=\sum _{i=1}^{N}\left[{\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}-{\frac {\kappa }{2}}(x_{i}-x_{i+1})^{2}\right]

Esse sistema pode ser estendido facilmente para o limite em que

N\to \infty

L=\epsilon N\to \infty

. No entanto, se o comprimento total do sistema estiver fixo, tem-se o limite contínuo

\epsilon \to 0

, de modo que a lagrangiana terá a forma

L=\int dx{\frac {1}{2}}\left[\mu {\dot {\phi (t,x)}}^{2}-\nu \left({\frac {d\phi (t,x)}{dx}}\right)^{2}\right]

onde

\phi (t,x)

representa o deslocamento da partícula relativa a posição

x

no instante de tempo

t

. Também, define-se as quantidades

\mu =\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {m}{\epsilon }}

\nu =\lim _{\epsilon \to 0}\kappa \epsilon

Generalizando essa discussão prévia para um sistema relativístico, tem-se uma lagrangiana que será uma função do campo

\phi(x)

, em que

x=x^{\mu }

e das derivadas

\partial _{\mu }\phi (x)

, dessa maneira, o funcional ação pode ser escrito como

S=\int dtL(\phi ,\partial _{\mu }\phi )

Finalmente, a lagrangiana pode ser escrita como

L(\phi ,\partial _{\mu }\phi )=\int d^{3}x{\mathcal {L}}(\phi ,\partial _{\mu }\phi )

onde

{\mathcal {L}}(\phi ,\partial _{\mu }\phi )

, é conhecida como densidade lagrangiana ^[9]. A equação de Euler-Lagrange é:

\partial _{\mu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}=0

Primeiras unificações. Equações relativísticas[editar | editar código-fonte]

Equação de Klein-Gordon[editar | editar código-fonte]

\left[\square +\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\right]\psi =0

onde

\square \equiv {\frac {\partial }{\partial x_{\mu }}}{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}

A equação de Klein-Gordon, às vezes chamada de equação de Klein-Fock-Gordon (ou ainda Klein-Gordon-Fock) pode ser deduzida de algumas maneiras diferentes.

Usando-se a definição relativística de energia

E^{2}=\left.p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}\right.

chega-se à equação:

{\sqrt {(-i\mathbf {\nabla } )^{2}+m^{2}}}\psi =i{\frac {\partial }{\partial t}}\psi

Equação de Dirac[editar | editar código-fonte]

Em 1928 Paul Dirac obteve uma equação relativística baseada em dois princípios básicos

A equação deveria ser linear na derivada temporal;
A equação deveria ser relativisticamente covariante.

A equação obtida por ele tinha a seguinte forma:

i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}={\frac {\hbar c}{i}}\left(\alpha _{0}mc\psi +\alpha _{1}{\frac {\partial \psi }{\partial x^{1}}}+\alpha _{2}{\frac {\partial \psi }{\partial x^{2}}}+\alpha _{3}{\frac {\partial \psi }{\partial x^{3}}}\right)

onde

\alpha _{0}

\alpha _{1}

\alpha _{2}

\alpha _{3}

não são números reais ou complexos, mas sim matrizes quadradas com N² componentes. Semelhantemente, as funções

\psi

são na verdade matrizes coluna da forma

\psi ={\begin{bmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\\\vdots \\\psi _{N}\end{bmatrix}}

e as matrizes

\alpha _{0}

\alpha _{1}

\alpha _{2}

\alpha _{3}

devem ser hermitianas.

Desenvolvimento da teoria quântica dos campos[editar | editar código-fonte]

Três razões principais motivaram o desenvolvimento da teoria quântica dos campos:

A necessidade da uma teoria que lidasse com a variação do número de partículas;
A necessidade de conciliação entre as duas teorias: mecânica quântica e a relatividade;
A necessidade de lidar com estatísticas de sistemas multipartículas.

Quantização canônica dos campos[editar | editar código-fonte]

Um campo, no esquema conceitual da teoria dos campos, é uma entidade com infinitos graus de liberdade.

O estado de mais baixa energia, chamado de vácuo, corresponde à ausência de partículas.

Estas, entretanto, podem ser criadas ou destruídas através de dois operadores:

$\mathbf {a} _{k}^{+}$ : operador criação
$\mathbf {a} _{k}^{-}$ : operador aniquilação

que agem sobre a função de onda do campo, respectivamente simbolizando a criação e a aniquilação de partículas dotadas de momento

\mathbf {k}

, possibilidade exigida pela relatividade.

Os operadores, agindo sobre os estados de um tipo específico de espaço de Hilbert, chamado espaço de Fock, criam e destroem as partículas. Entretanto, uma restrição é:

\mathbf {a} _{k}^{-}\left|0\right\rangle =0

o que quer dizer que não pode haver aniquilação sobre o estado básico, já que nesse caso não há partículas a serem aniquiladas.

matriz categorial Graceli.

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Sistema decadimensional Graceli.

1]Espaço cósmico.

2]Tempo cósmico e quântico.

3]Estruturas.

4]Energias.

5]Fenômenos.

6]Potenciais.

7]Transições de fases de estados físicos [amorfos e cristalinos] e estados de energias e fenômenos de Graceli.

9] especificidade térmica, de outras energias, e fenômenos das estruturas, e transições de fases.

10] especificidade de tempo de ações em processos físicos e quântico.

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Matriz categorial de Graceli.

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E=mc^{2}

+ [x]

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

x

decadimensional

x

T l T l E l Fl dfG l N l El tf l P l Ml tfefel Ta l Rl Ll Dl

E_{c}={\frac {1}{2}}m\ v\cdot v

+

E=mc^{2}

+

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

x

decadimensional

x

T l T l E l Fl dfG l N l El tf l P l Ml tfefel Ta l Rl Ll Dl

{\frac {}{}}p=mv

+

E=mc^{2}

E=mc^{2}

+

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

x

decadimensional

x

T l T l E l Fl dfG l N l El tf l P l Ml tfefel Ta l Rl Ll Dl

E_{c}={\frac {1}{2m}}p\cdot p

+

E=mc^{2}

E=mc^{2}

+

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

x

decadimensional

x

T l T l E l Fl dfG l N l El tf l P l Ml tfefel Ta l Rl Ll Dl

Na física do estado sólido, a estrutura eletrônica de bandas, ou simplesmente estrutura de bandas, se refere à estrutura formada ao se explicitar a relação entre os momentos e energias permitidos e os momentos e energias não permitidos aos elétrons em uma amostra material, usualmente elétrons em um cristal. Há faixas "contínuas" de momentos e energias permitidos separadas por faixas contínuas de momentos e energias não permitidos aos elétrons confinados à amostra.

A relação precisa entre momento e energia para os elétrons na matéria condensada é descrita por uma relação de dispersão específica; que em cristais, por ser dependente da orientação, assume a forma tridimensional. Nela identifica-se com facilidade uma "estrutura em bandas" ao se explicitarem as faixas de momentos e energias permitidas em relação àquelas não permitidas aos elétrons.

A existência de momentos e energias proibidos aos elétrons confinados a um cristal deriva-se de um processo de "sintonia" entre os comprimentos de onda dos elétrons (ver dualidade onda-corpúsculo) em movimento através da estrutura periódica e a periodicidade imposta pelas posições dos íons na rede cristalina.

Introdução[editar | editar código-fonte]

A característica mais importante da relação de dispersão para elétrons em cristais é que existem intervalos de energia não permitidos para o elétron. Isto é, se você pudesse observar a energia de todos os elétrons em um cristal e as marcasse em um linha, você observaria que certas faixas de valores não estariam presentes. Estas faixas de energia desaparecidas são chamadas de gaps de energia e tem origem na interferência entre as funções de onda eletrônicas, suas paridades e a periodicidade do cristal.

A relação de dispersão de um elétron livre, isto, para um elétron livre da matéria e não confinado de qualquer outra forma, pode ser deduzida da sua energia cinética:

Relação de dispersão característica a uma partícula livre; não confinada. A energia é proporcional ao quadrado do momento linear da partícula. A massada partícula define-se via relação de dispersão parabólica. (

E_{c}={\frac {\mathbf {p^{2}} }{2m}}

)

E_{c}={\frac {1}{2}}m\ v\cdot v

Como o momento deste elétron é:

{\frac {}{}}p=mv

Basta substitui-lo na energia cinética para obtermos a relação de dispersão de um elétron livre:

E_{c}={\frac {1}{2m}}p\cdot p

ou, conforme diretamente enfatizado pela mecânica hamiltoniana:

E_{c}={\frac {\mathbf {p^{2}} }{2m}}

Dela vê-se que a energia do elétron cresce com o quadrado de seu momento, e todos os valores de energia são possíveis a um elétron livre.

Essa relação de dispersão é em abrangência de fato característica à qualquer partícula material livre, e nela não figura qualquer gap de energia, uma vez que nenhum restrição ou interferência é imposta ao movimento do elétron ou partícula livres.

Na estrutura da matéria contudo, mesmo nos condutores, os elétrons não são livres; encontrando-se confinados à amostra e sujeitando-se ainda a certas restrições de movimento impostas pelos íons da estrutura. Tais restrições se configuram de tal forma a proibirem que um elétron se mova com certas energias dentro da amostra, e em particular interferem drasticamente na relação entre energias e momentos quando em proximidades aos valores proibidos de energia, fazendo-a desviar consideravelmente da parábola anterior.

Como consequência da intensa interação com a rede quando em proximidade de energias proibidas, há, a exemplo, casos em que forças aplicadas tentado aumentar a velocidade (e energia) do elétron em relação à rede cristalina levam-no de fato a reduzir sua velocidade relativa dado o aumento desproporcional da interação com a rede associado, comportando-se o elétron efetivamente como se esse tivesse uma "massa negativa". Conceitos como massa efetiva e momento cristalino são então definidos de forma a simplificar a descrição de tais partículas no interior do cristal.

Uma relação de dispersão didática, exibindo as faixas proibidas de energia e o os desvios do comportamento parabólico esperado em proximidade às regiões de energia proibidas, é apresentada abaixo.

Relação de dispersão para elétrons quase livres em potencial periódico unidimensional e Massa Efetiva para os mesmos

Métodos de cálculo da estrutura eletrônica[editar | editar código-fonte]

Existem várias maneiras de se estudar o aparecimento de bandas de energia em um sólido:

Método de elétrons quase livres[editar | editar código-fonte]

Considere um gás de elétrons presos em uma caixa do tamanho do sólido que você esta interessado. Esta é uma ótima aproximação de um metal. Devido ao princípio de exclusão de Pauli e a efeitos de blindagem, os níveis de energia antes disponíveis, podem agora apresentar gaps pequenos. Esta é a idéia básica para a se estudar a estrutura eletrônica de banda de elétrons quase livres.

Método de Tight Binding[editar | editar código-fonte]

Considere os átomos que formam o seu sólido e a estrutura eletrônica dos elétrons nestes átomos. Imagine que os átomos de seu sólido estão muito separados, uma distância grande o suficiente para que os elétrons em órbita de uma átomo não percebam a presença de outros elétrons em outros átomos. Se agora, em teoria, você começar a diminuir a distância entre estes átomos em algum momento os elétrons começarão a interagir. Os elétrons mais exteriores com certeza serão muito mais afetados pela presença dos outros átomos que os elétrons nas camadas mais internas. Usando as estrutura eletrônica atômica original e esta interação é possível calcular-se as alterações causadas no níveis atômicos e observar o aparecimento de bandas de elétrons e gaps de energia. Este é a ideias utilizada na teoria de tight binding (aproximação de primeiros vizinhos) para a estrutura eletrônica de bandas.

Outros métodos importantes são o método k.p (lê-se k escalar p), e métodos com Funções de Green

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

= entropia reversível

matriz categorial Graceli.

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

Sistema decadimensional Graceli.

1]Espaço cósmico.

2]Tempo cósmico e quântico.

3]Estruturas.

4]Energias.

5]Fenômenos.

6]Potenciais., e potenciais de campos, de energias, de transições de estruturas e estados físicos, quãntico, e estados de fenômenos e estados de transições, transformações e decaimentos.

7]Transições de fases de estados físicos [amorfos e cristalinos] e estados de energias e fenômenos de Graceli.

9] especificidade térmica, de outras energias, e fenômenos das estruturas, e transições de fases.

10] especificidade de tempo de ações em processos físicos e quântico.

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

Matriz categorial de Graceli.

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl